Die Matrix A ist genau dann triagonalisierbar, wenn |k| ≥ ?

Question

Ich hab ein Problem bei folgender Aufgabe:

Sei A∈Mat(4x4,ℝ) die Matrix gegeben durch:

A= ( 0 0 0  0

       1 0 0  0

       0 1 0 -4

       0 0 1  k  )

Die Matrix A ist genau dann triagonalisierbar, wenn |k|  ≥ ?

Ich weiß, dass triagonalisierbar bedeutet, dass sich eine Matrix in eine Matrix in oberer Dreiecksform transformieren lässt. Für mich wäre das hier der Fall, wenn k=0 wäre, dann wären die zweite Spalte und die vierte linear abhängig. Aber das funktioniert leider mit der Frage nicht.

Answer 1

Das charakteristische Polynom von \(A\) lautet \(p(t)=\det(tI-A)=t^2(t^2-kt+4)\). Es zerfällt über \(\mathbb R\) in Linearfaktoren, wenn \(\vert k\vert\ge4\) ist.