Diffeomorphismus konstruieren

Question

ich benötige bei dieser Aufgabe unbedingt Hilfe

Seien U,V ⊆ ℝⁿ  offen. Eine Abbildung φ: U→V heisst Diffeomorphismus, wenn φ ein Homömorphismus ist und wenn φ als auch φ ^-1  stetig differenzierbar sind.

Es bezeichne ||·|| die euklidische Norm auf ℝⁿ für gegebenes n ∈ ℕ. Sei B:={ u ∈ ℕ| ||u|| < 1} und φ: B → ℝⁿ mit

φ (u) = u/√(1-||u||²) ein Diffeomorphismus.

Konstruieren Sie einen Diffeomorphismus ψ: (-1,1)ⁿ → ℝⁿ  und zeigen Sie, dass B und (-1,1)ⁿ  diffeomorph sind.

Comments

Erklaere mal, was φ anschaulich gesprochen macht. Warum steht da eine Wurzel im Nenner? Geht es nicht auch ohne? Und warum steht ||u||² unter der Wurzel im Nenner? Warum nicht einfach ||u||?

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φ wird immer größer für immer größere ||u||, also wenn lim _||u||→1  φ(u) = ∞, und für kleinere ||u||

gilt lim _||u||→0  φ(u) = u.

Aber wie kann ich dadurch einen Diffeomorphismus konstruieren und zeigen, dass B und (-1,1)ⁿ  diffeomorph sind.

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φ ist vektorwertig, wie kann dann φ immer groesser werden?

Jedenfalls muesstest Du erstmal verstehen, wie φ funktioniert, und warum φ ein Diffeomorphismus ist. Rechne auch φ^-1 aus. φ ist naemlich auch konstruiert. Zu wissen wie hilft. Dann kannst Du für ψ den gleichen Trick probieren.

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Also der Grap der Funktion für n=2 sieht so aus.

Die Wurzel "spreizt" den Graphen genauso wie das Quadrat für immer kleiner werdende ||u||.

Selbiges macht auch die Umkehrfunktion.

Würde man nun die Wurzel und das Quadrat wegglassen so verhät sich die Funktion ähnlich

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Mir ist schleierhaft, was Du da geplottet hast.