Differentialgleichungen: Bestimmen Sie sämtliche Lösungen für allgemeine Parameter u und v

Question

y'(x) = vy(x)(v - y(x))

a) Skizzieren Sie für u=1, v=3 das Richtungsfeld im Bereich von -2 bis 2 für x und im Bereich von -1 bis 4 für y!

b) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen für allgemeine Parameter u und v!

c) Ermitteln Sie die spezielle Lösung, welche der Bedingung $y(0) = \frac{v}{2}$ genügt.

Gegeben sei zu festen Parametern u und v die Differentialgleichung.

Answer 1

b) Lösung durch Trennung d. Variablen.

y'(x)= uy(x)(v-y(x))

dy/dx = uy(x)(v-y(x))

dy = uy(x)(v-y(x)) *dx

dy/(y(x)(v-y(x)) = u dx

usw.

Lösung:

y(x) = (v e^{C₁ v + u v x})/(e^{C₁ v + u v x} - 1)

c)Setze die AWB in die Lösung ein

Lösung:

y(x) = (v e^{u v x})/(e^{u v x} + 1)