Bestimmtes Integral Beweis

Question

Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R

$$ \int _{ 0 }^{ x }{ |t|dt\quad =\quad \frac { x|x| }{ 2 }  } $$

Bitte mit Rechenweg. Mein Deutsch ist nicht sehr gut, ich kann alles nicht verstehen.

Answer 1

ich mache partielle Integration.

Unbestimmtes Integral

$$ \int |t| dt=\int 1\cdot |t| dt=t\cdot|t|-\int t\cdot\frac{|t|}{t} dt=t\cdot|t|-\int 1\cdot|t| dt\\=t\cdot|t|-\int |t| dt\\ \Leftrightarrow 2\cdot \int |t| dt=t\cdot|t| \Leftrightarrow \int |t|dt=\frac{t\cdot|t|}{2}$$

Bestimmtes Integral

$$ \int_0^x |t|dt=\frac{x\cdot|x|}{2}-\frac{0\cdot|0|}{2} =\frac{x\cdot|x|}{2}$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort, aber ich habe was nicht verstanden.

Warum hast du die Ableitung von |x| als $$ \frac { |x| }{ x } $$ geschrieben statt $$ \frac { x }{ |x| } $$ ? Ist die richtige Ableitung nicht $$ \frac { x }{ |x| } $$ ?

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Es geht beides.

Answer 2

unterscheide die Fälle x>=0 und x<0. Dann bleibt jeweils nur die Stammfunktion von t bzw. -t zu bestimmen.