Komplexe Zahl |(z-1)/(z+1)| = 1 ... bestimmen

Question

Ich soll hiervon z bestimmen.

$$| \frac {z-1}{z+1}|=1~~mit~z \in \mathbb C$$

$$ \frac {z-1}{z+1}=-1 \wedge  \frac {z-1}{z+1}=1~würden~zu~Lösungen~dieser~Gleichung~führen$$

Die erste Gleichung führt auf -z=z während die zweite auf z-2=z führt. Demnach wäre z=(0,0) die einzige Lösung, da es die erste Gleichung erfüllt. Nun scheint mir das ganze etwas zu kurz und außerdem wären hiermit in der Aufgabenstellung die komplexen Zahlen überflüssig. Klar ist ich übersehe irgendwelche Eigenschaften der komplexen Zahlen, welche auf mehr bzw. die richtigen Lösungen führen würden. Könnte mir jemand sagen was genau ich hier übersehe?

Answer 1

z=0 ist richtig.

Wenn Dir das zu kurz vorkommt:

Setze z=x+iy

Answer 2

das sind nur zwei Lösungen. Es gibt aber unendlich viele. Alle komplexen Zahlen der Form z=iy, also mit Realteil 0, erfüllen die Gleichung.