Wann schneidet die Sinusfunktion die y-achse in einem 45°Winkel

Question

g_a (x) = a sin² (2x + x/4 ) , für a ∈ ℝ

Für welchen Wert a schneidet das Schaubild der Funktion die y-Achse unter einem 45° Winkel ?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

also so wie die Funktion da steht wird das nie im Leben funktionieren. Warum?

Zuerst habe ich deine Funktion abgeleitet und mit 1 gleichgesetzt. Also so hier:

$$ g_a(x)=a\sin^2\Big(2x+\frac{x}{4}\Big)=a\sin^2(2,25x)\\ g_a'(x)=2\cdot 2,25\cdot \sin(2,25x)\cos(2,25x)\cdot a=1$$

Und da die y-Achse gefragt ist, wird x=0 eingesetzt.

$$ g_a'(0)=4,5\cdot \sin(0)\cos(0)\cdot a=1 $$

Da aber sin(0)=0 wird es keine Lösung für a geben, denn sonst teile ich durch Null, also Widerspruch!

Comments

Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Altklausur aus dem 1.Semester und ich habe deshalb auch die Lösungen zu der Aufgabe.

Dass das ganze also keine Lösung hat kann nicht sein, den die Lösung ist a=1/2 .

Vielleicht ist bei den Lösungen ja auch ein Fehler unterlaufen, ich würde dich trotzdem nochmal bitten das ganze nachzurechnen.

Mfg

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Also selbst mit der Lösung ergibt das auch keinen Sinn. So sähe der Graph aus:

~plot~ 1/2*sin(2x+x/4)^2 ~plot~

Und da sieht man wohl, dass dem nicht so ist. Dort wird die y_Achse im 90° Winkel geschnitten.

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Oh mir ist ein Fehler unterlaufen und zwar ist das nicht x/4 sondern π/4 .

Tut mir schrecklich Leid.

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Also dann komme ich auch auf die Lösung.

$$ g_a(x)=a\sin^2\Big(2x+\frac{\pi}{4}\Big)\\ g_a'(x)=2\cdot 2\cdot \sin\Big(2x+\frac{\pi}{4}\Big)\cos\Big(2x+\frac{\pi}{4}\Big)\cdot a\\g_a'(0)=2\cdot 2\cdot \sin\Big(\frac{\pi}{4}\Big)\cos\Big(\frac{\pi}{4}\Big)\cdot a\stackrel{(*)}{=}4\cdot \frac{1}{2}\cdot a=1\\2a=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{2} $$

$$(*)\quad \sin\Big(\frac{\pi}{4}\Big)\cos\Big(\frac{\pi}{4}\Big)=\frac{1}{2}  $$