f diffbar mit einem lokalen Extremum in xo. Begrüde xo sogar globales Extremum von f

Question

Sei f: R → R differenzierbar mit genau einem lokalen Extremum im Punkt xo. Begründen Sie, dass xo sogar globales Extremum von f ist.

Answer 1

Die Aussage ist falsch. (Edit: Sorry, vergiss das.) Gegenbeispiel:

Betrachte die differenzierbare Funktion \[f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad x\mapsto 3 x - x^3\text{.}\]

Für alle \(x\in \mathbb{R}\) ist \(f'(x) = 3 - 3 x^2\) und \(f''(x) = -6 x\).

Es ist \(f'(1) = 3 - 3\cdot 1^2 = 3- 3 = 0\) und \(f''(1) = -6\cdot 1 = -6<0\). Daher hat \(f\) bei \(x_0 = 1\) ein lokales Maximum mit Wert \(f(x_0) = f(1) = 3\cdot1-1^3 = 3-1 = 2\).

Wegen \[f(-3) = 3 \cdot (-3) - (-3)^3 = -9 - (-27) = -9 + 27 = 18 > 2 = f(x_0)\] ist bei \(x_0\) kein globales Maximum von \(f\).

Edit: Sorry, vergiss dieses Gegenbeispiel. Ich habe nicht bedacht, dass es zwar hier nur ein Maximum gibt, aber es gibt ja noch ein Minimum, so dass es zwei lokale Extrema gibt, also die Voraussetzungen nicht erfüllt sind.

~plot~ 3*x-x^3; {1|2}; {-3|18}; [[-3,25|2,5|-3|19]] ~plot~

Answer 2

\(x_0\) ist die einzige Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel.