Beispiel zur Darstellungsmatrix

Question

Hallo :)

Ich habe eine lineare Abbildung φ((2,0,-3)^T)=( 3,1,1)^T

und ich will die Darstellungsmatrix von φ bezüglich der Standardbasis von R^3 berechnen.

Ich habe momenten mit einigen Aufgaben von dieser Sorte zu tun...kann mir jemand vielleicht anhand dieses Beispiels zeigen wie das geht?

LG Nick

Answer 1

Durch den einen Wert \(\varphi\left(\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\) ist die lineare Abbildung \(\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) noch nicht eindeutig bestimmt. Es gibt unendlich viele veschiedene lineare Abbildungen mit dieser Eigenschaft.

Beispielsweise:

\(\varphi_1 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}- x_3 \\ -x_1-x_3 \\ -x_1-x_3\end{pmatrix}\)

\(\varphi_2 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_2- x_3 \\ -x_1-x_3 \\ -x_1-x_3\end{pmatrix}\)

Comments

Danke für die Antwort:)

Leider verstehe ich nicht ganz wie du auf diese Beispiele kommst.

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Naja ich habe mir irgenwelche linearen Abbildungen überlegt, die den Vektor \(\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}\) auf den Vektor \(\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\) abbilden.

Und da sind mir eben spontan diese Abbildungen eingefallen. Wie genau ich auf die Abbildungen gekommen bin, ist eigenlich nicht interessant. Ich schreibe dir das aber trotzdem gerne ...

Zunächst einmal lassen sich alle linearen Abbildungen \(\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) in der Form \[\varphi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \quad \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\] bzw. in der Form \[\varphi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \quad \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13} x_3 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23} x_3 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33} x_3\end{pmatrix}\] mit Koeffizienten \(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{33}\in \mathbb{R}\) schreiben, wobei \[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\] die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung \(\varphi\) bzgl. der Standardbasis des \(\mathbb{R}\)-Vektorraums \(\mathbb{R}^3\) ist.

Umgekehrt ist auch jede Abbildung dieser Form eine lineare Abbildung \(\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\).

Nun habe ich mir überlegt wie ich am einfachsten aus den Einträgen \(2, 0, -3\) des Vektors \(\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}\) die Einträge \(3, 1, 1\) des Vektors \(\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\) erhalte. Dafür habe ich gesehen, dass \(3 = - (-3)\) und \(1 = -2 + 3 = -2 - (-3))\) ist. Dementsprechend habe ich dann \[\varphi_1 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}- x_3 \\ -x_1-x_3 \\ -x_1-x_3\end{pmatrix}\] gewählt. Um auf eine zweite Abbildung zu kommen, die auch den Vektor Vektor \(\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}\) auf den Vektor \(\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\) abbildet, habe ich ausgenutzt, dass der zweite Eintrag des Vektors \(\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}\) gleich \(0\) ist und Addition von \(0\) nicht ändert. Demnach habe ich dann für die erste Zeile entsprechend abgeändert, so dass sich dann \(3 = 0 - (-3)\) ergibt, statt vorher \(3 = -(-3)\). Damit habe ich dann eine zweite lineare Abbildung gefunden: \[\varphi_2 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_2- x_3 \\ -x_1-x_3 \\ -x_1-x_3\end{pmatrix}\]

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Ist in Zeile 7 die Darstellungsmatrix zuviel?

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Ja, danke. Die ist natürlich zu viel. Dort sollte \[\varphi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \quad \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13} x_3 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23} x_3 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33} x_3\end{pmatrix}\] statt \[\varphi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \quad \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13} x_3 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23} x_3 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33} x_3\end{pmatrix}\] \(\)stehen.