Berechnen Sie den Erwartungswert von X: E[X]
Der Erwartungswert von Verteilungswert berechnet sich allgemein aus:$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)$$ Auf deine Frage übertragen bedeutet jenes folgendes:$$E(X)=\int_{-\infty}^{0}x\cdot 0dx+ \underbrace{\int_{0}^{5}x\cdot\frac{1}{125}x^3dx}_{5}+\int_{5}^{\infty}x\cdot 1=5$$
Berechnen Sie die Varianz von X. V[X]
Die Varianz einer Dichtefunktion berechnet man normalerweise so:$$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu x)^2\cdot f(x)dx$$ Das wird aufwendig, das kann ich jetzt schon sagen :( ! Achso übrigens \( \mu=E(X)=5\).$$V(X)=\int_{-\infty}^{0}(x-2)^2\cdot 0dx+\int_{0}^{5}(x-2)^2\cdot \frac{1}{125}x^3dx+\int_{5}^{\infty}(x-2)^2\cdot 1=\frac{35}{6}$$
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {X < 32}.
Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich wie folgt:$$P(X≤a)=F(a)$$ Für \(x>5\) ist es ja einfach nur \(1\).$$P(X≤35)=F(35)=1=100\%$$
Geben Sie die zugehörige Quantilfunktion QX(p) an
Hier bin ich mir nicht ganz sicher, aber ich denke, dass du von \(\frac{1}{125}x^3\) die Umkehrfunktion \(F^{-1}\) berechnen musst. Hierbei ist \(u=\frac{1}{125}x^3\). Die Umkehrfunktion ist also:$$F^{-1}(u)=5\sqrt{u}$$Hier bin ich mir aber sehr unsicher.
Berechnen Sie den Median von X
Dieser sollte, dass \(0.5\)-Quantil sein, also:$$F^{-1}(0.5)=5\sqrt{0.5}\approx 3.53553$$
