Ich habe einige Fehler gefunden. Hauptfehler: Du hast dich bei der Berechnung des Normalenvektors komplett verrechnet.
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Zuerst hab ich hier die Ebene aufgestellt:
E: A + q*(B-A) * r (C-A)
Bei der Ebenengleichung hast du an einer Stelle ein "*", wo eigentlich ein "+" stehen sollte.
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Kreuzprodukt von AB x AC
n = (12,18,0) => n = 3*(4/5/0)
Der Normalenvektor passt nicht. Richtig wäre: \(\)\[\vec{AB} = \begin{pmatrix}2 - 4 \\ 4 - (-2) \\ -1 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 2 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}\] \[\vec{AC} = \begin{pmatrix}-2 - 4 \\ 2 - (-2) \\ 1 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 6 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}\] \[\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} - 2 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} - 6 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 0 - (-2) \cdot 4 \\ (-2)\cdot(-6)-(-2)\cdot 0 \\ (-2)\cdot 4-6\cdot(-6)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 28\end{pmatrix} = 4\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7\end{pmatrix}\]
Außerdem wäre übrigens: \[\begin{pmatrix}12 \\ 18 \\ 0\end{pmatrix} = 3\cdot \begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 0\end{pmatrix} \ne 3\cdot \begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix} \]
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Du benutzt die Gleichung
S + t* n = P
um das Gleichungssystem
0 + 4t = -4
0 + 5t = y
4 + 0t = -10
aufzustellen. Jedoch hast du zuvor
n = (12,18,0) => n = 3*(4/5/0)
stehen. Das passt so nicht ganz. Denn S + t* n + P liefert dir genau genommen das Gleichungssystem
0 + 12t = -4
0 + 18t = y
4 + 0t = -10
bzw. das Gleichungssystem
0 + 3*4t = -4
0 + 3*5t = y
4 + 3*0t = -10
Oder du verwendest
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)
als Normalenvektor anstatt
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 0 \end{pmatrix}\) bzw. \(\vec{n} = 3\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)
als Normalenvektor. (Wobei du hier natürlich keinen der Vektoren verwenden solltest, da du dich bei der Berechnung verrechnet hast und keiner dieser Vektoren ein Normalenvektor der Ebene ist.)
