Funktion zeichnen / Fläche berechnen...

Question

Das Grundstück wird durch die X- und Y-Achse

sowie die Funktion: f(x)= -0,001X^3+0,14x^2-6,4x+96  begrenzt (Angaben in m.)

 

Die Grundsteuer beträgt 2,22 Euro pro qm. Berechnen Sie die Steuer.

 

Auf das Grundstück soll ein rechteckiges Gebäude (gemäß Skizze) mit maximaler Grundfläche gebaut werden. Berechnen Sie die Maße.

 

Lösungshinweis: Fläche 1066,67 qm zu 2,22 Euro ergibt 2.368,00 Euro.

Ich habe damit begonnen, die erste Nullstelle durch "Raten" zu bestimmen (x1=40). Polynomdivision durchgeführt und habe dann die p-q-Formel angewendet, wobei ich hinsichtlich der Nullstellen auf x1=40 und x2= 60 kam.

Ich habe jetzt also eine quadratische Gleichung x^2-100x+2400=0.

Irgendwie stehe ich nun aber auf dem Schlauch, wie ich der Lösung nun näher komme.

Answer 1

Hi,

für den Flächeninhalt ingesamt hast Du ja bereits die erste Nullstelle zu N(40|0) bestimmt. Deine Integrationsgrenzen sind also 0 und 40.

$$\int_0^{40} f(x) \approx 1066,67$$

 

Für den maximalen Flächeninhalt des Hauses nimm Dir

A = u*f(u), wobei u die Breite an der x-Achse ist und die Höhe durch die Funktion an der Stelle u beschränkt wird.

A = u*(-0,001u³+0,14u²-6,4u+96)

A' = -0,004u³ + 0,42u²-12,8u+96

 

Ein Maximum gibt es dann, wenn A' = 0 ist.

Das ist für u₁ = 11,14   u₂ = 40   und u₃ = 53,86 der Fall (Wieder über Raten - Polynomdivision - pq-Formel).

Logischerweise muss u<40 sein, weswegen nur u₁ in Frage kommt.

 

Der Flächeninhalt ist also

A = 11,14*f(11,14) = 11,14*40,70 = 453,40

 

Grüße

Comments

Um das Rechteck mit den größtmöglichen Flächeninhalt unter der Kurve zu bekommen, legt man sich einen Punkt auf die Kurve (P(x.y)), zieht eine senkrechte und waagerechte Linie und so hat man erstmal ein Bild vor Augen.

Die Flächeninhalt des Rechteckes ergibt sich als Funktion der Variablen x folgendermaßen:

A(x) = (0 + P) *(f(x) -0) = x*(-0,001x³ + 0,14x² - 5,4x + 96) = -0,001x⁴ + 0,14x³ - 6,4x² + 96x; für x größer gleich 0 und kleiner gleich 60.

Bei Optimierungspaufgaben ist meistens die Diffentialrechnung angesagt, so dass wir die erste Ableitung von A(x) bilden:

A'(x) = -0,004x³ +3*0,14x² - 2*6,4x + 96 und das setzen wir Null.

x³ - 105x² + 3200x - 24000 = 0 (Gleichung dritten Grades, Lösung kann man durch Probieren finden)

Eine Lösung wäre x ~ 11,14. Das in die Funktion eingesetzt ergibt y ~ 40,7. A = 453,4 m².

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Hatte auch mit der Antwort angefangen, PC aufgehangen, deswegen Kommentar. Identische aus 2 Quellen stammende Ergebnisse sprechen für eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis richtig zu sein scheint .-)

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Ja, das spricht für sich! :D

Du kannst Deine Antwort übrigens gerne als Zweitantwort darstellen. Eine größere Garantie, dass diese nicht untergeht und die verdiente Aufmerksamkeit bekommt! ;)