Hi,
$$ {\displaystyle\int}\sqrt{4-\left(x-2\right)^2}\,\mathrm{d}x $$
Substitution
$$ u=x-2 $$
$$ ={\displaystyle\int}\sqrt{4-u^2}\,\mathrm{d}u $$
Jetzt kommt der ekelhafte teil:
Substituiere das zweite mal:
$$ u=2\sin\left(v\right) $$
$$ ={\displaystyle\int}2\cos\left(v\right)\sqrt{4-4\sin^2\left(v\right)}\,\mathrm{d}v $$
Das kann man etwas vereinfachen, zu 4*cos(x)^2
Weiter gehts:
$$ =4{\displaystyle\int}\cos^2\left(v\right)\,\mathrm{d}v $$
Das Integral ist schon etwas angenehmer...
Für Integrale dieses Typs gibt es eine spezielle Reduktionsformel!!!
$$ =\frac{\cos\left(v\right)\sin\left(v\right)}{2}+{\frac{1}{2}} \int 1\,\mathrm{d}v $$
Jetzt muss man wirklich aufpassen, dass man keinen Fehler macht!!! Die Rücksubstitution kommt:
$$ {\displaystyle\int}\sqrt{4-\left(x-2\right)^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{\left(x-2\right)\sqrt{4x-x^2}-4\arcsin\left(\frac{4-2x}{4}\right)}{2}+C $$
Wie heißt das Buch, dass du nutzt? Das sind richtig nette Aufgaben :) Aber auch etwas fies
