Wie viele invertierbare 2x2 Matrizen mit Einträgen in K gibt es?

Question

Ich bräuchte wieder mal bei der Aufgabe Hilfe. Ich weiß wirklich gar nicht wie ich da rangehen soll.

Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Wie viele Elemente hat dann die Menge GL(2,K), d.h. Wie viele invertierbare 2x2 Matrizen mit Einträgen in K gibt es. Begründen Sie Ihre Antwort.

Vielen lieben Dank!

Comments

Es muss "Matrizen" heißen.

Answer 1

Hallo

 was ist GL bei euch, der Vektorraum oder der Raum der 2 x 2 Matrizen.

experimentiere mit K= Z₂ und Z₃ , also mit K mit den Elementen (0,1) und (0,1,2) verallgemeinere dann.

Gruß lul

Comments

was ist GL bei euch

Vermutlich die general linear group wie eigentlich überall.

Answer 2

Hallo Jesco,

kennst du die Äquivalenz "A invertierbar" g.d.w. "A besitzt vollen Rang"? Mit der geht das relativ einfach:

Schauen wir uns einfach mal eine Matrix $A \in \text{GL}(2,\mathbb{F}_q)$ an, diese hat die Form

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Das A vollen Rang hat bedeutet, dass der Zeilenrang von A gleich 2 ist, insbesondere müssen die beiden Zeilen also linear unabhängig sein (ansonsten wäre er 0 oder 1). Wie viele Matrizen mit vollem Rang können wir "basteln"?

Für die Zeile (a b) gibt es insgesamt $q^2$ Wahlmöglichkeiten, aber da wir die Nullzeile ausschließen müssen (sonst hat die Matrix keinen vollen Rang) bleiben in Wirklichkeit nur $q^2 - 1$ Möglichkeiten.

Die zweite Zeile (c d) müssen wir jetzt so wählen, dass die beiden Zeilen linear unabhängig sind. Es sind also alle Vielfachen von (a b) auszuschließen. Da unser Körper genau q Elemente besitzt, sind das auch q Stück. Wir erhalten hier also $q^2 - q$ weitere Wahlmöglichkeiten.

Insgesamt dann eben $$\left| \text{GL}(2,\mathbb{F}_q) \right| = (q^2 - 1)(q^2 - q )$$

Man kann diese Überlegungen übrigens verallgemeinern und erhält dann:

$$\left| \text{GL}(n,\mathbb{F}_q) \right| = \prod_{i=1}^n (q^n - q^{i-1})$$