DGL Aufgabe lösen (homogene Lösung)?

Question

in der Lösung steht y'= k(y-20) gibt es eine Formel um auf diese DGL zu kommen? Zudem steht in der Lösung für homogene Lösung: y_h= c*e^k*t , muss da nicht y_h= c*e^1*t stehen? Danke euch voraus

Aufgabe: In einem Raum mit Lufttemperatur 20° C wird eine Leiche gefunden, die eine Körpertemperatur von 32° C aufweist. 24 Stunden später ist die Körpertemperatur weiter abgesunken auf 27° C. Die Obduktion ergibt, dass keine Fiebererkrankung vorlag, als der Tod eintrat. Bestimmen Sie den Todeszeitpunkt.

Answer 1

Hallo

dein y(t) ist offensichtlich die Körpertemperatur in Abh. von der Zeit in Stunden.Die Änderung der Temperatur ist proportional dem Temperaturunterschied zur Umgebung, das ergibt y'(t)=k*(y(t)-20°)

zur lösung nimmt man Trennung der Variablen, dy/(y-20)=k*dt und integriert. Das ergibt :

ln(y-20)=k*t+C

exponentialfunktion angewand: y-20=e^{k*t+C}

 oder mit e^C=C1

y=C1*e^{kt}+20

bekannt ist y(0)=32°, y(24)=27°

durch einsetzen bestimmt man k und C1

dann setzt man y=36° (normale Körpertemperatur) und bestimmt das negative t, was dann die Zeit vor der ersten Messung bei 32° ist

Wie du auf y=e^1*t kommst ist schleierhaft, dann würde die Temperatur ja ansteigen? k muss negativ sein!

nur y'=y hat die Lösung y=C*e^t

Gruß lul