Spur einer Matrix, Koeffizient von ...

Question

Es sei K ein Körper. Die Spur einer Matrix in K^n×n
ist die Summe ihrer Hauptdiagonalenelemente.

Es seien A∈K^n×n  und c ihr charakteristisches Polynom. Zeigen Sie, dass

i) Die Koeffizient von λⁿ in c gleich (-1)ⁿ ist

ii) Die Koeffizient von λ^n-1 in c gleich (-1)^n-1 Spur A ist

iii) Die Koeffizient von λ⁰ in c gleich det A ist.

Comments

Du postest hier kommentarlos Aufgaben. Was versprichst Du Dir davon? Was weisst Du ueberhaupt zum Thema? Irgendeine Ahnung von Matrizen, Determinanten und Polynomen? Hast Du eine Vorlesung gehoert? Liest Du ein Lehrbuch? Oder willst Du nur einfach so Aufgaben machen?

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  Hey das ist dann ein Anti_Einstein. Weil ich kannte mal einen Studenten. Der Name tut nichts zur Sache; der Kenner genießt und schweigt. Sagen wir Dagobert_Eusebius.

   Man sagt doch " Doktorvater "  Und der Betreuer der Diplomarbeit? Ist das dann der Dipl.Papa?

   Weil Dago behauptete immer, er werde mal so berühmt wie Einstein. Sein Prof sehe das ( angeblich ) auch so - also ich war jeden Falls nicht zugegen, als der das dem Dago unter vier Augen gesagt haben ( soll )

   Und dann sagte der Dago, da er doch berühmt werde, brauche er eh keine von den popeligen Übungsaufgaben mehr lösen.   Damit verglichen, ist die Stufe der Einsicht bei unserem jungen Freund doch schon eine ganze Etage höher ...

Answer 1

  Solltest du es bisher noch nicht gewusst haben, lebst du verkehrt. Aber die Begründung findest du nirgends - Vieta das geschmähte Stiefkind.  Schreib mal die Säkulardeterminante  ( SD ) von A  in der Form

       p_A  (  x  )  =  x  ^  n  +  a_n-1  x  ^ (  n  -  1  )  +   ...  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0        (  1  )

    Dann folgt ja wohl aus dem Satz von Vieta

    a_n-1  =  -  (  E1  +  E2  +  E3  +  ...  +  E_n  )  =  -  Sp  (  A  )            (  2a  )

     a0  =  (  -  1  )  ^ n   E1  E2  E3  ...  E_n  =  (  -  1  )  ^ n    det  (  A  )      (  2b  )

    Was folgt hieraus für eine 2  X  2  Matrix?   Da kannste mal sehen, wie kompliziert dass die Bücher das immer formulieren; da weiß die linke Hand nicht, was die rechte tut :

    p_A  (  x  )  =  x  ²  -  x  Sp  (  A  )  +  det  (  A  )        (  3  )

    Nimm es dir zu Herzen .