Zentraler Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Verteilung

Question

also ich habe versucht die Aufgabe zu bearbeiten, nur bin ich nicht sicher ob ich sie richtig verstanden habe.

Wäre echt cool wenn ihr drüber schauen könntet. Danke in Voraus :)

Ein Würfel werde 100 Mal geworfen. Berechnen näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe aller  geworfenen Zahlen zwischen 333 und 367 liegt.

Also es ist Xi: Augenzahl des i ten Würfelwurfs. D.h. X1,..., X100

Xi ist gleichverteilt auf 1,...,6 und Yn = ∑n=1bis 100 Xi    ist die Summe aller geworfenen Augenzahlen

Es ist n=100 und p= 1/6

Nun ist P(333 ≤ x ≤ 367) zu berechnen. Da Xi gleichverteilt ist und alle Xi unabhängig sind, da jeder Würfelwurf vom darauffolgenden unabhängig ist kann der zentrale Grenzwertsatz benutzt werden.

E(Xi)= 6+1/2=3.5     V(Xi)=6^2--1/12 =35/12

Ich denke man muss noch die Standardnormalverteilung beachteten.

P(Y100-100E(Xi) / √100 D²(Xi)) mit  Z= Y100 - 100 E(Xi)/ √100 D²(Xi)

Also ist: P(333 ≤ x ≤ 367) = (367 - 100•3,5 / √100 •√35/12) - (333 - 100•3,5 / √100 •√35/12) = Φ(0,99) - Φ (-0.99)

=Φ(0,96) - 1 - Φ (0,96) = 0,8389 - (1 - 0,8389) = 0.6778

Answer 1

Bis auf Kleinigkeiten alles richtig.

$$ P(333 ≤ x ≤ 367) = \Phi \left(  \frac{367 - 100 \cdot 3,5 } {\sqrt{100} \sqrt{35/12} } \right) - \Phi \left(  \frac{333 - 100 \cdot 3,5 } {\sqrt{100} \sqrt{35/12} } \right) $$

$$ \Phi(0.9954) - \left( 1 - \Phi (0.9954) \right) = 0.8402- (1 - 0.8402) = 0.6805 $$