Matrixgleichung, komme nicht auf die richtige Determinante

Question

10. Gegeben sei die Matrixgleichung X · A + X · B = C mit den Matrizen

A = ( -1 -3 ),  B = ( 5  4 ),  C = ( 16  22 )

       (  3 -3 )         ( -3  5)         ( -40 -28)

Bestimmen Sie die Matrix X. Welchen Wert hat det X?

(a) 54

(b) -126

(c) 55

(d) 59

(e) -91
------------------------------

Habe so gerechnet:
X * A + X * B = C
X(A+B) = C
X(A+B)(A+B)^-1 = C(A+B)^-1

X = C(A+B)^-1

Damit komme ich aber nicht auf das richtige Ergebnis, sondern auf -54 und es müsste wenn dann 54 sein. Habe ich beim umstellen einen Fehler oder beim Matrizen rechnen? Habe es zwar sehr oft wiederholt, wie immer bevor ich hier poste.

Comments

komme doch auf 54, nach dem ich die zahlreichen ähnlichen Aufgaben durchgegangen bin (sorry).
Habe für X immer ( 4 -9 ) rausbekommen, richtig war aber ( 4  9 )

                             (-10 9 )                                                      (-10 -9)

Answer 1

X=( (4,9),(-10,-9))

Zeile2+2.5 Zeile1

X‘=( (4,9),(0,27/2))

det X‘=4•27/2=54

Answer 2

  Ich will mich jetzt nicht tot rechnen. Aber doch ein paar Hinweise, welchen Weg du beschreiten musst.

   Ich setze

         T  :=   A  +  B      (  1  )

    so dass deine Gleichung lautet

     X  T  =  C   |     °   T  ^  -  1         (  2a  )

     Anmerkung:  "  Kringel links  "  bedeutet  Matmul  von  Rechts .

      X  =  C  T  ^  -  1     (  2b  )

    Damit ist unser Problem auf die Frage zurück geführt: Wie bestzimmen wir die Inverse einer  2  X  2  Matrix?

   Hattet ihr schon Eigenwerte;  die Säkulardeterminante  (  SD  )  ,  das Eigenwertpolynom?  In den Büchern ist das immer so Mefa kompliziert erklärt. Wir machen den Ansatz

     p_T  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q  =  0    (  3a  )

     Und was ist p und q?  Vieta das geschmähte Stiefkind

     p  =  E1  +  E2  =  Sp  (  T  )      (  3b  )

    q  =  E1  E2  =  det  (  T  )        (  3c  )

     p_T  (  x  )  =  x  ²  -  x  Sp  (  T  )  +  det  (  T  )  =  0      (  3d  )

   Die wesentliche Idea; jede Matrix löst ihre eigene SD  .  Für diagonalisierbare  ( ===> halbeinfache )  Matrizen siehst du das ja trivial ein; aber es gilt eben allgemein:

  p_T  (  T  )  =  T  ²  -  T  Sp  (  T  )  +  det  (  T  )  °  1|  =  0   |   °  T  ^ -  1     (  4a  )

          T  -  Sp  (  T  )  °  1|  +  det  (  T  )  °  T  ^ -  1  =  0     (  4b  )

    (  4b  )  tust du umstellen nach  T  ^ -  1  -  das ist alles .   Wie du siehst, geht das genau dann schief, wenn die Determinante verschwindet .  ( Genau genommen kannst du in diesem singulären Fall sogar beweisen, dass ( 4b ) falscb sein muss ;  sonst müsste T ja die Einheitsmatrix sein. )

   Sollte sich T wider Erwarten doch als singulär heraus stellen, rate ich dir , dasjenige LGS aufzustellen  aus den vier unbekannten Matrixelementen von  X  , das sich aus  (  2a  )  ergibt .