Skalarprodukt, Anschauung

Question

Hallo miteinander,

wir haben das Skalarprodukt über positive Definitheit, Linearität im zweiten Argument und über Symmetrie definiert. Außerdem haben wir definiert, dass wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist diese zueinander Orthogonal sind. Formal mit dem Skalarprodukt umzugehen bekomme ich hin, ich weiß jedoch nicht genau, wie ich Formalismus und Anschauung verknüpfen kann. Was "macht" das Skalarprodukt anschaulich? Speziell, wieso ist Orthogonalität so definiert, also wieso steht im Raum ein Vektor senkrecht auf dem anderen wenn ihr Skalarprodukt null ist? Gibt es da eventuell einen formalen Bezug, der das Skalarprodukt mit dem Winkel zwischen den zwei Vektoren in Verbindung setzt? 

Answer 1

Im ℝ³ ist das Standardskalarprodukt

        (v₁, v₂, v₃)·(w₁, w₂, w₃) = v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃.

Rechne nach, dass positive Definitheit, Linearität im zweiten Argument und Symmetrie erfüllt sind.

Seien O(0 | 0 | 0), A(a₁ | a₂ | a₃), B(b₁ | b₂ |b₃) Punke im euklidischen Raum.

Das Dreieck OAB hat bei O einen rechten Winkel genau dann wenn

        |OA|² + |OB|² = |AB|²

ist (Pythagoras). Einsetzen der Koordinaten liefert

        (a₁² + a₂² + a₃²) + (b₁² + b₂² + b₃²) = (b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²,

was sich zu

        a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0

vereinfachen lässt.

Außerdem gibt es noch den allgemeineren Zusammenhang

        cos ∠(a, b) = (a·b) / (|a|·|b|),

den du ebenfalls mit dem Standardskalarprodukt nachrechnen kannst. Wegen cos(90°) = 0 ist darin auch die Aussage enthalten, dass das Skalarprodukt von orthogonalen Vektoren 0 ist.

Andere Skalarprodukte als das Standardskalarprodukt führen zu einer anderen Auffassung, was der Winkel zwischen zwei Vektoren ist. Allgemein ist das Skalarprodukt eine Möglichkeit, Winkel auf beliebigen Vektorräumen zu definieren.