Funktion mit Wurzel ableiten. f(x)= 2x √(x²+3)

Question

f(x)= 2x √(x²+3)

wie kann ich diese FUNnktion ableiten.

Mein Vorgehen wäre.

erstmal die WUrzel als hoch 0,5 zu schreiben...

die Musterlösung sieht folgendermaßen aus:  (4x²+6)/(sqrt(x²+3))

Answer 1

Mein Vorgehen wäre.

erstmal die WUrzel als hoch 0,5 zu schreiben...

Das ist ein guter Anfang.

f(x)= 2x √(x²+3)

f(x)= 2x (x²+3)^{0.5}

Nun nimmst du die Produktregel und, wenn du die Wurzel ableitest, darfst du als zusätzlichen Faktor die innere Ableitung nicht vergessen.

f '(x) = 2 * (x^2 + 3)^{0.5} +0.5*  2x * (x^2 + 3)^{-0.5} * 2x

= 2 * (x^2 + 3)^{0.5} + 2x^2 * (x^2 + 3)^{-0.5}

Danach die beiden Summanden nach den Regeln des Bruchrechnens addieren.

[spoiler]

2 * (x^2 + 3)^{0.5} + 2x^2 * (x^2 + 3)^{-0.5}

= 2 * (x^2 + 3) /(x^2 + 3) ^{0.5} + 2x^2 / (x^2 + 3)^{0.5}

=  (2 * (x^2 + 3)  + 2x^2 ) / (x^2 + 3)^{0.5}

=  (2 x^2 + 6 + 2x^2 ) / (x^2 + 3)^{0.5}

=  (4 x^2 + 6 ) / (x^2 + 3)^{0.5}

Comments

und diese Funktion schaffe ich auch nicht... f(x) = 2x/(x²-3)²

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zur ersten Aufgabe, mir ist das vorgehen schon bewusst...aber ich komme nicht auf die LÖsung, vielleciht könnten SIe mir die Lösung zusenden?

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Bitte neue Fragen als neue Fragen einstellen.

Versuche erst mal mit dieser Wurzel fertig zu werden.

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ja, doch ich schaffs ned.

ABleitung:

2x*x(x+3)^-.5 + 2(x²+3)^.5 ... so sieht es meiner meinung nach aus... aber ist halt nicht gleich musterlösung

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f'(x) = 2x*x(x^2+3)^-0.5 + 2(x²+3)^0.5 .

Danach die beiden Summanden nach den Regeln des Bruchrechnens addieren.

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Danke schonmla fpr die Antwort, noch eins fehlt mir zur perfekten ANtowrt bzw. Verständni ;)

wie ging dieser Schritt...?

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Es wurde diese Regel angewandt:

$${x}^{-n}=\frac{1}{x^n}$$

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die wurde doch aber nur bei dem hoch -0,5 angewandt, oder?  Bei dem Vorderen habe ich ja nicht den fall von Hoch MINUS? Nur hoch 0,5

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Ich füge einen Zwischenschritt ein:

2 * (x^{2} + 3)^{0.5} + 2x^{2} * (x^{2} + 3)^{-0.5}        | Potenzregeln

= 2 * (x^2 + 3)^1 *  (x^{2} + 3)^{-0.5} + 2x^{2} * (x^{2} + 3)^{-0.5}

= 2 * (x^{2} + 3) /(x^{2} + 3) ^{0.5} + 2x^{2} / (x^{2} + 3)^{0.5}

Answer 2

.........................................

Answer 3

u=2x u'=2

V=(x²+3)^0,5 v'=0,5(x²+3)^-0,5·2x= x/√(x²+3)

f'= 2·√(x²+3)+ 2x²/√(x²+3)

Auf einenNenner und zusammenfassen, ergibt:

(4x²+6)/√(x²+3)

Answer 4

f(x) = 2x *  √ (x²+3) 

Produktregel:

   f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)  (1)

    u(x) = 2x       u'(x) = 2

    v(x) = √ (x^2+3) = (x^2+3)^0,5

    Für v'(x) die Kettenregel:

    v'(x) = 0,5* (x^2+3)^{-0,5} * 2x = x / (√ ( x^2+3 ))

Das jetzt einsetzten:

f'(x) = 2 * √ (x^2+3) + 2x * x / (√ ( x^2+3 ))

Das jetzt vereinfachen.

Gruß

Smitty

Answer 5

benutze Produkt -und Kettenregel

$$ f(x)=2x\cdot\sqrt{x^2+3}=2x\cdot(x^2+3)^{\frac{1}{2}}\\f'(x)=2\cdot(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\cdot2x\cdot(x^2+3)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x\\=2\cdot(x^2+3)^{\frac{1}{2}}+2x^2\cdot (x^2+3)^{-\frac{1}{2}}\\=2\cdot \sqrt{x^2+3}+\frac{2x^2}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{4x^2+6}{\sqrt{x^2+3}} $$

Answer 6

  Implizit geht das sehr schön.

    x  =:  3  ^ 1/2  *  sinh  (  u  )      (  1  )

   Das ist eine  1 : 1 - Beziehung zwischen x  und u .  Dann

    y  =  2  sqr  (  3  )  sinh  (  u  )  sqr    3  [  1  +  sinh  ²  (  u  )  ]   =  (  2a  )

     =  6  sinh  (  u  )  cosh  (  u  )  =  3  sinh  (  2  u  )        (  2b  )

    Erläuterung; auf der linken Seite von  ( 2b  ) wurde der hyperbolische Pythagoras benutzt  und rechts  das Sinusteorem .

    In  (  2b  )  siehst du auch viel klarer als in ( 1 ) , was los ist.   Es handelt sich um eine ungerade  surjektive  Funktion.  Zur Anwendung kommt  ===>  parametrisches Differenzieren  ; zunächst leiten wir  ( 2b ) ab

        ( dy/du )  =  6  cosh  (  2  u  )          (  3a  )

    ( dx/du )  =   3  ^ 1/2  *  cosh  (  u  )     (  3b  )

    Was den Herrn Lehrer besonders  freut; wir erweitern mit Differenzialen:

                                                                                    cosh  (  2  u  )

   ( dy/dx )  =  ( dy/du ) : ( dx/du ) =  2  *  3  ^ 1/2      -------------------------   (  4  )

                                                                                    cosh  (  u  )

     Was ich bemerkenswert finde: Obgleich es sich um eine ungerade Funktion handelt, besitzt sie  im Ursprung keinen  ===>  Terrassenpunkt, somdern sie verhält sich streng monoton steigend.      Auf jeden Fall ist aber der Ursprung ein WP ; wir machen den Quotienten  in  (  4  )  weg

    y  '  cosh  (  u  )  =  2  *  3  ^ 1/2  cosh  (  2  u  )     (  5a  )

    Jetzt ableiten mit der Produktregel

   y  "  cosh  (  u  )  +  y  '  sinh  (  u  )  =  4  *  3  ^ 1/2  sinh  (  2  u  )    (  5b  )

   und jetzt setzen  u0  =  0   (  5b  )

    Für  x ====>  (  °°  )  geht diese Ableitung übrigens gegen  (  °°  )   .   Beweis.  Setze in ( 4 )  die  Definition der cosh-Funktion ein und kürze durch die höchste Potenz exp  (  2  u  )

                                                    1 + exp ( - 4 u )

     y  '   =      2  *  3  ^ 1/2      ------------------------------------      (  6  )

                                              exp ( - u ) + exp ( - 3 u )