Exponentielles Wachstum. Temperatur A nimmt pro Minute 3% an Wärme ab. Es wird angenommen, dass…

Question

Temperatur A nimmt pro Minute 3% an Wärme ab. Es wird angenommen, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt. Wie viel Grad hat sie nach 15 Minuten? Nach wie viel Minuten sind 30°C erreicht?

Temperatur B hat 80°C und nimmt innerhalb von 10 Minuten auf 70°C ab. Es handelt sich auch um exponentielles Wachstum. Stelle das Wachstumsgesetz für Temepratur B auf. Nach wie viel Minuten hat B die gleiche Temperatur wie A?

Comments

Es fehlt die Angabe der Starttemperatur
von A.

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Bei der ersten Aufgabe fehlt die ausgangstemperatur.

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Die ist 100°

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Das ist keine sinnvolle Aufgabe. Um das einzusehen, könnte man etwa mal die Temperaturen von Celsius in Kelvin umrechnen. Die unglückliche Gleichsetzung von Temperatur und Wärme im ersten Satz will ich gar nicht erst vertiefen. Wer stellt derart schreckliche Aufgaben?

Und was soll das Stichwort "bakterien" dem Leser mitteilen?

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Es wird angenommen das es sich um exponentielles Wachstum handelt.

Das könnte zum Beispiel dadurch der Fall sein, dass die Abkühlung nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz bei Umgebungstemperatur 0 erfolgt.

die Temperaturen von Celsius in Kelvin umrechnen.

Dann ist die Umgebungstemperatur nicht mehr 0.

Und was soll das Stichwort "bakterien" dem Leser mitteilen?

Ganz klar, die Temperaturabnahme kommt dadurch zustande, dass die Wärme von den Bakterien aufgefressen wird.

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Das könnte zum Beispiel dadurch der Fall sein, dass die Abkühlung nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz bei Umgebungstemperatur 0 erfolgt.

Ja, und deswegen handelt es sich nicht nur um ein Beispiel für eine schlechte Mathematikaufgabe, sondern auch um ein Beispiel für eine ganz schlechte Physikaufgabe. Daher meine Frage: Woher stammt die Aufgabe?

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Ja, und deswegen handelt es sich nicht nur um ein Beispiel für eine schlechte Mathematikaufgabe

Das tut es nicht.

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Doch oswald, das tut es sicher. Die von dir gemachte Annahme, so sie denn überhaupt zutreffend ist, hätte zwingend Teil der Aufgabenstellung sein müsse. Als genehmigungspflichtige Aufgabe in einer Prüfung (Abitur, ZK, ZP10,...) wäre sie in dieser Form nicht durchgekommen. Auch als Schulbuchaufgabe wäre sie kaum denkbar, aber natürlich gibt es auch schlechte Bücher.

Nehmen wir an, heute ist es 15 °C und morgen wird es 30 °C sein. Ist es dann morgen doppelt so heiß wie heute?

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Die Figur stammt aus der Mathematik Arbeit von mir.

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Könntest du die genaue Aufgabe mal in Form eines Fotos dokumentieren?

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Die von dir gemachte Annahme, so sie denn überhaupt zutreffend ist,

Ich habe keine Annahme gemacht. Ich habe eine Beispiel angegeben, wann die in der Aufgabenstellung getrofferne Annahme gerechtfertigt ist. Insofern ist die Aufgabe sinnvoll.

hätte zwingend Teil der Aufgabenstellung sein müsse.

Da gebe ich dir recht. Die Aufgabe ist schrecklich.

Answer 1

Temperatur B hat 80°C und nimmt innerhalb von 10 Minuten auf 70°C ab.

T0 = 80
t = 10 min
T ( 10 ) = 70
T ( t ) = T0 * fak^t/10
T ( 10 ) = 80 * fak^10/10 = 70
80 * fak¹ = 70
fak = 7/8

T ( t ) = 80 * (7/8) ^t/10

Comments

a.)
Temperatur A nimmt pro Minute 3% an Wärme ab. Es wird angenommen das es sich um exponentielles Wachstum handelt. Wie viel Grad hat sie nach 15 Minuten? Nach wie viel Minuten sind 30°C erreicht?
A : Die ist 100°

S ( t ) = 100 * 0.97^t
S ( 15 ) = 100 * 0.97¹⁵ = 63.33 °

S ( t ) = 100 * 0.97^t = 30 °
100 * 0.97^t = 30 °
0.97^t = 0.3
t * ln ( 0.97 ) = ln ( 0.3 )
t = 39.53 min

Nach wie viel Minuten hat B die gleiche
Temperatur wie A?

80 * (7/8) ^t/10 = 100 * 0.97^t | ln
ln ( 80 * (7/8) ^t/10 =)  ln ( 100 * 0.97^t )
ln ( 80 ) + ln (7/8) ^t/10 =  ln ( 100 ) + ln ( 0.97^t ) )
ln ( 80 ) + t/10 * ln (7/8) = ln ( 100 ) + t * ln ( 0.97 ) )
t = 13.04 min

Answer 2

a) f(t) = a* 0,97^t , a = Anfangstemperatur

f(15) = a*0,97¹⁵

30= a*0,97^t

t= ln(30/a)/ln0,97