Integration per umgekehrte Substitution lösen?!

Question

folgendes ist gegeben:

$$\int _{ 1 }^{ 2 }{ \sqrt { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 2x } } dx\quad \quad \quad und\quad x(t)=ln\quad t }$$

kann mir bitte jemand diese Aufgabe vorrechen, mit dieser umgekehrten Substitution...?

Answer 1

$$ \int _{ 1 }^{ 2 }{ \sqrt { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 2x } } dx\quad \quad \quad und\quad x(t)=\ln(t) }\quad \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\Leftrightarrow dx=\frac{1}{t} dt \qquad (*) $$

Dann hat man:

$$ \int  \sqrt { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 2x } } dx=\int  \frac{1}{t}\sqrt { { e }^{ 3\ln(t) }+{ e }^{ 2\ln(t) } }  dt=\int  \frac{1}{t}\sqrt { { e }^{ \ln(t^3) }+{ e }^{ \ln(t^2) } }  dt\\=\int \frac{1}{t} \sqrt { t^3+t^2 }  dt=\int \frac{1}{t} \sqrt { t^2(t+1) } dt=\int \sqrt { t+1} dt=\frac{2}{3}(1+t)^{\frac{3}{2}}\stackrel{(*)}{=} \frac{2}{3}(1+e^x)^{\frac{3}{2}} $$

Jetzt das bestimmte Integral:

$$ \int _{ 1 }^{ 2 } \sqrt { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 2x } } dx=\Big[\frac{2}{3}(1+e^x)^{\frac{3}{2}}\Big]_1^2 =\dfrac{2\left(\left(\mathrm{e}^2+1\right)^\frac{3}{2}+\left(-\mathrm{e}-1\right)\sqrt{\mathrm{e}+1}\right)}{3}\approx 11.419$$

Comments

vielen Dank super erklärt ich habe noch eine sehr ähnliche Frage, vielleciht kannst du mir diese auch so gut erklären ;) ich stelle sie seperat

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Komplettloesungen sind didaktisch wertlos. Sie hindern die Leute nur an der eigenen Beschaeftigung mit der Materie. Zumal man in Lehrbuechern und im Internet schon zigtausend komplett vorgerechnete Beispiele findet. Was soll da das Begucken einer weiteren noch bringen? Doch nur wieder nix.

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@Fakename

ich versuche immer die Aufgaben zuerst selber, ich weiß dass ansonsten der Effekt aus bleibt!

Answer 2

Die Gleichung $$\int_a^bf(\phi(t))\phi'(t)\,dt=\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)\,dx$$ kann man (wie jede andere Gleichung auch) wahlweise von links nach rechts oder von rechts nach links lesen. "Umgekehrte Substitution" heisst: von rechts nach links. Und dazu sollst Du halt \(x=\phi(t)=\ln t\) setzen. Sonst ist da nix. Rechne doch selber mal was vor.

Answer 3

∫ √(e^{3·x} + e^{2·x}) dx

Substitution
x = LN(t) --> t = e^x
1 dx = 1/t dt

= ∫ √(t^3 + t^2) dt/t
= ∫ √(t + 1) dt
= ∫ (t + 1)^{1/2} dt
= 2/3·(t + 1)^{3/2} + C
= 2/3·(e^x + 1)^{3/2} + C