Extrema von Bruchfunktion f(x)=(3x) / √ (4x^{2}+1)

Question

gegeben ist die Funktion f(x)=(3x)/√(4x^2+1)

Als ersten Schritt benötige ich die erste Ableitung. Da scheiter ich schon :D. Ich würde erstmal die Wurzel umschreiben zu (4x^2+1)^{1/2}, und nun weiß ich schon nicht wie es weiter geht.

Ich hoffe jemand kann mir helfen, LG!

EDIT: Klammer im Nenner korrigiert.

Comments

Es ist nicht nötig, die Wurzel umzuschreiben, die Ableitung der Quadratwurzelfunktion kommt so oft vor, dass sie in Formelsammlungen nachgeschlagen werden kann, falls man sie nicht ohnehin auswendig weiß:

$$\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x}}$$

Answer 1

f(x)=(3x)/(√4x^2+1)

soll bestimmt so heißen
f(x)=(3x) / √ (4x^2+1)
f(x)=(3x) *(4x^2+1)^{-1/2}
u = 3x
u ´= 3
v = (4x^2+1)^{-1/2}
v ´ = -1/2 * (4x^2+1) ^{-3/2} * 8x
v ´ = -4x * (4x^2+1) ^{-3/2}

u ´ * v + u * v´
3 * (4x^2+1)^{-1/2} + 3x * -4x * (4x^2+1) ^{-3/2}
3 * (4x^2+1)^{-1/2} - 12x^2 * (4x^2+1) ^{-3/2}

Kann noch vereinfacht werden zu

Answer 2

Ich leite die Funktion mal ohne überflüssigen Schnickschnack ab und verwende nur die Quotientenregel, die Kettenregel und die Ableitung der Quadratwurzelfunktion als Werkzeuge zum Ableiten. Abgeleitet werden soll die Funktion
$$f(x)=\frac{3x}{\sqrt{4x^2+1}}$$Ableiten mit den angeführten Werkzeugen ergibt unmittelbar
$$f'(x)=\dfrac{3\cdot\sqrt{4x^2+1} - 3x\cdot \dfrac{8x}{2\cdot\sqrt{4x^2+1}} }{\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}$$als Ableitungsfunktion. Etwas zusammengefasst sieht sie so aus:
$$f'(x)=\dfrac{3\cdot\sqrt{4x^2+1} - \dfrac{12x^2}{\sqrt{4x^2+1}} }{\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}$$Das Quadrat der Wurzel im Nenner vereinfache ich nicht, da ich den Quotienten nun mit dem Wurzelterm \(\sqrt{4x^2+1}\) erweitere zu
$$f'(x)=\dfrac{3\cdot\left(4x^2+1\right) - 12x^2 }{\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^3}$$Dies wird nach Zusammenfassen des Zählers zu
$$f'(x)=\dfrac{3}{\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^3}.$$Der Radikand im Nenner ist positiv, die Wurzel und ihre dritte Potenz und damit der Nenner auch. Zusammen mit dem positiven Zähler ist der Quotient, also die Ableitungsfunktion, positiv und daher streng monoton steigend.

Da f für alle reellen Zahlen definiert und ableitbar ist, besitzt f nach dem oben ausgeführten keine Extremstellen.

Answer 3

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 4

  ===>  Implizites Differenzieren. Setze

     2  x  =:  sinhh (  u  )       (  1a  )

    Dann ist die Zuordnung u ===>  x   umkehrbar eindeutig .

    y  =  3/2  tgh  (  u  )      (  1b  )

   In ( 1b )    raffst du auf einmal viel schneller, was abgeht . f ( x ) ist eine beschränkte Funktion, die im Unendlichen asymptotisch einem Grenzwert zustrebt  ( Und außerdem zeigt f ( x ) ungerade Symmetrie; Extremata sind da eher zweifelhaft. )

    ( dy/du )  =  3 / [  2  cosh  ²  (  u  )  ]     (  2a  )

    ( dx/du )  =  1/2   cosh  (  u  )     (  2b  )

   Was der Herr Lehrer besonders gerne sieht: Wir erweitern mit Differenzialen .

  ( dy/dx )  =  ( dy/du )  :  ( dx/du )   =  3a  )

  =  3 / cosh  ³  (  u  )  >  0     (  3b  )

   Wie ich schon sagte. Eine Punkt symmetrische Kurve muss im Ursprung einen WP haben; dein Dings ist streng monoton wachsend .

Comments

  Tschuldige - eh dass ich dir was Falsches sage . Natürlich PARAMETRISCHES  und nicht implizites Differenzieren .