Um nach dem Quotientenkriterium zu überprüfen, ob eine Reihe der Form
$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } $$
konvergiert, muss gezeigt werden, dass der Quotient
$$ \left| \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } \right| $$
für fast alle n kleiner ist als eine feste Zahl q<1, also dass dieser Quotient z.B: gegen eine Zahl q<1 konvergiert.
Ich berechne den Quotienten für dieses Beispiel:
$$ \begin{array} { l } { a _ { n + 1 } = \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } } \\ { a _ { n } = \frac { x ^ { n } } { n } } \\ { \Rightarrow \left| \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } \right| = \left| \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } \frac { n } { x ^ { n } } \right| = \left| \frac { n } { n + 1 } \cdot x \right| = \frac { n } { n + 1 } | x | } \end{array} $$
n/(n+1) geht für große n gegen 1, also konvergiert die Reihe, wenn |x|<1, also auf dem Intervall ]-1, 1[
Die Frage ist nun noch, was auf den Rändern passiert, also für x=1 und x=-1:
x=1:
$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } $$
Das ist die harmonische Reihe, die bekanntermaßen divergiert.
x = -1:
$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n } $$
Die Summandenfolge ist eine alternierende Nullfolge, also konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium.
Die Reihe konvergiert also genau dann, wenn x∈[-1, 1[ gilt.
