Sind die folgenden Mengen Teilräume von R^3 ?

Question

könnte bitte Jemand mal meine Lösung zu a) kontrollieren und mir erklären, wie b) geht?

Aufgaben:

$$a)\quad Untersuchen\quad Sie,\quad ob\quad folgende\quad Mengen\quad Teilräume\quad von\quad { R }^{ 3 }\quad sind:\\ { T }_{ 1 }=\left\{ { \left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] \in { R }^{ 3 } }|{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }=4{ x }_{ 3 } } \right\} ,{ T }_{ 2 }=\left\{ { \left[ \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right] \in { R }^{ 3 } }|{ 2{ { x }_{ 1 }^{ 2 } }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }=1 } \right\} .\\ \\ b)\quad Sei\quad V=\left\{ { f:R\rightarrow R } \right\} \quad der\quad Vektorraum\quad der\quad reellen\quad Funktionen.\quad Untersuchen\quad Sie,\quad \\ ob\quad folgende\quad Mengen\quad Teilräume\quad von\quad V\quad sind:\\ { T }_{ 1 }=\left\{ { f:R\rightarrow R|f(1)=1 } \right\} ,\quad { T }_{ 2 }=\left\{ { f:R\rightarrow R|f(1)=0 } \right\}$$

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Alles klar, ich hier meine Lösung zu a)

Answer 1

a)  T1 ja;   kannst du mit dem Unterraumkriterium nachweisen.

 T2 nicht;: denn (0;1;0) ∈  T2   und (0;0ß;1) ∈  T2

aber deren Summe nicht.

b)  T1 nicht ; denn für zwei solche Funktionen f und g gilt

(f+g)(1) = 2 ≠ 1

    T2 ja ;   kannst du wieder mit dem Unterraumkriterium nachweisen.

Comments

danke für die Tipps, ich hatte a) schon gelöst, aber anscheinend darf man die Lösung nicht in dem Format hochladen, wie ich es getan habe.

Gibt es eine Möglichkeit meine Lösung als Bildformat hochzuladen, ohne das es gelöscht wird? Denn es ist richtig viel Schreibarbeit mit dem Editor?

Kann man bei a) T2 auch sagen, dass der Nullvektor nicht existiert und deswegen T2 kein Teilraum ist, denn 0!= 1?

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Meine Lösung für a steht nun oben unter der Frage, kann man dies so machen?

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Ist doch prima, allerdings ist  ∉   kein Zeichen für

"ist kein Teilraum" . Das musst du wohl einfach ausschreiben.

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OK:)

Könntest du mir noch aufzeigen, wie man bei b rann geht?

Verstehe dies nicht so ganz, bzw. weiß  nicht, wie ich die Kriterien zeigen soll.

Bei T2 würde dann ja auch (f+g)(1) = 2 ≠ 0 gelten?

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@gabba: Du hast doch bei b) schon alles geschrieben, was nötig ist.

Wenn eine einzige Eigenschaft nicht vorhanden ist, ist das kein Untervektorraum. Mehr brauchst du nicht zu tun.

Einzig T_(2) ∉ ℝ^3 ist falsch notiert. D.h. streichen und ersetzen durch:

"T_(2) ist kein Untervektorraum von  ℝ^3 ".

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Ja, dass ich aber der Aufgabenteil a)

Ich rede hier von der Aufgabe b), und dort weiß ich nicht genau, wie ich dies Zeigen soll.

Also die Aufgabe hier:

$$b)\quad Sei\quad V=\left\{ { f:R\rightarrow R } \right\} \quad der\quad Vektorraum\quad der\quad reellen\quad Funktionen.\quad Untersuchen\quad Sie,\quad \\ ob\quad folgende\quad Mengen\quad Teilräume\quad von\quad V\quad sind:\\ { T }_{ 1 }=\left\{ { f:R\rightarrow R|f(1)=1 } \right\} ,\quad { T }_{ 2 }=\left\{ { f:R\rightarrow R|f(1)=0 } \right\}$$

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Bei T2 würde dann ja auch (f+g)(1) = 2 ≠ 0 gelten?

b) Da habe ich falsch gelesen.

Bei T2 ist aber:

Bei T2 würde dann ja auch (f+g)(1) = 0 ≠ 0 gelten?

Du meinst

Bei T1 würde dann ja auch (f+g)(1) = 2 ≠ 0 gelten?

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Genau da ist mein Problem, mich verwirrt der Ausruck, bei Vektoren geht es, aber hier weiß ich nicht, wie es eigentlich ausschaut.

Wie soll man z.B. den Nullvektor bei T2 zeigen? Es gibt ja eine Variable, wo ich etwas einsetzen könnte.  Ist mein Verständnisproblem verständlich?

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Also ich habe nun lange nachgelesen und verstehe es einfach nicht:(

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Beim Vektorraum von Funktionen sind die "Vektoren" eben Funktionen.

Der "Nullvektor" ist dann die Nullfunktion   f(x)=0 für alle x ∈ ℝ.

Also auch f(1)=0 und nicht f(1)=1.

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Also würde T1 schon deswegen herausfallen, da er kein Nullvektor enthält.

Gut, aber wie zeige ich nun die Addition von T2

So hier?

f(1)+g(1)=(f+g)(1) = 0+0=2*0 ?

Und die Multiplikation

a*f(1)=a*0 mit aeR?

Schaut irgendwie komisch aus:)

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So hier?  Eher so:

Die Summe der Funktionen ist f+g, also

(f+g)(1)  = f(1)+g(1)= 0+0=2*0 ?


Und die Multiplikation

(af)(1)= a*f(1)=a*0 mit aeR?

Schaut prima aus !

Answer 2

  In T1 hast du die Lösung  einers homogenen  LGS  .   Der Lösungsraum eines homogenen  LGS  , der sog. Kern, bildet grundsätzlich einen Vektorraum; sieh dir das nochmal an .

       2  x1  +  x2  -  4  x3  =  0       (  1  )

      T2  nicht.  Denn der Nullvektor x1 = x2 = x3 = 0 gehört ja nicht dazu.   Laut  Wolfram stellt deine Formel einen parabolisch gekrümmten Zylinder dar; und etwas ohne gerade Kanten kann nie ein Vektorraum sein .