Merkwürdige Punkte: Umkreismittelpunkt im Dreieck- Theoriefrage

Question

Folgendes Beispiel:

Gegeben ist ein Dreieck ABC: A = (-6/0), B= (9/-3), C=  (6/8) Berechnen Sie den Umkreismittelpunkt.

Ich beginne wie folgt:

Ich berechne die erste Seitensymmetrale mit MC= A+B /2   ( Ergebnis 1,5/ -1,5)

Nun berechne ich den Vektor von A nach B: B-A ( Ergebnis ( 1/5)
Warum muss ich, nachdem ich die Seitensymmetrale mit A+b/2 berechne dann den Vektor von A nach B berechnen?

Als Ergebnis erhalte ich:

(1,5/ -1,5) + t* (1/5)
Was bedeutet dieses Ergebnis?

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Mehr dazu hier: https://www.mathelounge.de/40242/umkreismittelpunkt-im-dreieck-a-6-0-b-9-3-c-6-8

Answer 1

Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Die Mittelsenkrechten gehen durch den Seitenmittelpunkt und stehen zu der Seite senkrecht. Damit ist eigentlich der Vektor AB nur interessant um einen senkrechten dazu zu bilden

AB = B - A = [9, -3] - [-6, 0] = [15, -3] = 3 * [5, -1]

Dazu senkrecht ist der Vektor [1, 5]. Das ist dann der Vektor der Mittelsenkrechten

Mittelsenkrechte zu AB: [1.5, -1.5] + r * [1, 5]

Die vollständige Aufgabe findest du unter

https://www.mathelounge.de/40242/umkreismittelpunkt-im-dreieck-a-6-0-b-9-3-c-6-8

Answer 2

Alle Punkte auf einem Kreis haben denselben Abstand vom Mittelpunkt des Kreises.

Wenn du 2 Punkte (z.B. A und B) kennst, kannst du irgendwo auf der Mittelsenkrechten den Kreismittelpunkt annehmen.

Das wäre nun dein mAB:  r = (1,5/ -1,5) + t* (-5/1)

Nun noch die Mittelsenkrechte von B und C zeichnen.

Der Punkt, der auf beiden Mittelsenkrechten liegt, ist der Umkreismittelpunkt.

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Ja. Leider hat der Fragesteller hier nicht AB angegeben sondern direkt den dazu senkrechten Vektor.