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Hallo ich habe eine Textgleichung die ich nicht lösen kann.

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Grundlinie 32 cm. Die Seitenhalbierende auf a s_a = 25 cm. Berechne den Schenkel und die Fläche des Dreiecks.

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Hallo Tobo,

Deine Frage ist zwar nun schon einen Tag her, aber auf der Suche nach ähnlichen Dreiecken bin ich fündig geworden. Und das wollte ich Dir zeigen:

Skizze10.png

Fällt man vom Mittelpunkt MaM_a der Seite aa das Lot auf cc, so erhält man den Fußpunkt QQ. Nun sind die Dreiecke HcBC\triangle H_cBC und QBMa\triangle QBM_a ähnlich. Und da MaM_a die Seite aa teilt, teilt auch QQ die Strecke HcBH_cB. Weiter ist QMa=h/2|QM_a|=h/2. Im gleichschenkligen Dreieck (mit Spitze in CC) fällt HcH_c, der Höhenfußpunkt, mit McM_c, dem Mittelpunkt der Seite cc, zusammen. Daher ist AQ=34c|AQ| = \frac34 c nach Pythagoras ist im Dreieck AQMa\triangle AQM_a sa2=(34c)2+(12h)2 h=4sa294c2s_a^2 = \left( \frac34 c\right)^2 + \left( \frac12 h\right)^2 \\ \Rightarrow \space h = \sqrt{4 s_a^2 - \frac94 c^2}

Also ist der Flächeninhalt FF des Dreiecks F=12hc=124sa294c2c=1219632cm2=224cm2F = \frac12 hc = \frac12 \sqrt{4 s_a^2 - \frac94 c^2} \cdot c = \frac12 \sqrt{196} \cdot 32 \text{cm}^2 = 224 \text{cm}^2 und die Länge eines Schenkels ist a=h2+(12c)2=4sa22c2=2113cm21,3cma = \sqrt{h^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2} = \sqrt{4s_a^2 - 2 c^2} = 2\sqrt{113} \text{cm} \approx 21,3 \text{cm} Gruß Werner

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Sehr interessant, doch woher weiß man, dass |sa| die Höhe genau in der Mitte schneidet?

sas_a schneidet die Höhe hh nicht in der Mitte !?

Wie kommt dann der Pythagoras mit (12h)2\left( \frac12 h\right)^2 zustande?

Omg, jetzt hab ichs gerafft. Musste es nochmal richtig lesen.

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Die Rechnung gilt unter der Prämisse, dass c=32cmc=32cm die Grundlinie ist!

Suche dir die Formel für die Seitenhalbierende heraus:sa=2(b2+c2)a22s_a=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2} Wir haben aber a=ba=b, also:sa=2(a2+c2)a22s_a=\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-a^2}}{2} Stelle nach aa um, um die Lösung zu erhalten:25=2(a2+322)a22225=\frac{\sqrt{2(a^2+32^2)-a^2}}{2} \quad |\cdot 250=2a2+2322a250=\sqrt{2a^2+2\cdot 32^2-a^2} 50=a2+2048(...)250=\sqrt{a^2+2048} \quad |(...)^2 2500=a2+204820482500=a^2+2048 \quad |-2048a2=452a^2=452 \quad |\sqrt{}a=2113a=2\sqrt{113} Der Flächeninhalt berechnet sich aus:A=c2a2c24A=\frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}A=322(2113)23224=224cmA=\frac{32}{2}\sqrt{(2\sqrt{113})^2-\frac{32^2}{4}}=224cm

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wie heist die formel die sie angewendet haben ?

Habe die Antwort noch etwas ausgearbeitet. LG

Es war ein Fehler drin - nun stimmt alles!

Ok, ist c=32cmc=32cm die Grundlinie? Nur dann stimmen die Rechnungen.

Ja, die Grundlinie ist 32 cm.

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Hallo Tobo,

wenn a = BC die Grundlinie ist (?)

Strecken in cm

Zeichnung.png

Pythagoras  →

x2  =  162 + 25 =  881  → x  √ 881  ≈  29,68 [cm]  

Fläche A  = 1/2 * 25 cm * 32 cm  = 400 cm2

Gruß Wolfgang

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Es ist |sa| gegeben und nicht |sc|

Ah, sorry! Das kann sein, aber ich denke, dass cc die Grundlinie ist...

@racine

Und wo steht in der Aufgabe , was die Grundlinie ist?

Ja, habe es schon korrigiert.

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