Flächensätze und Ähnlichkeit: Berechne den Schenkel und die Fläche des Dreiecks

Question

Hallo ich habe eine Textgleichung die ich nicht lösen kann.

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Grundlinie 32 cm. Die Seitenhalbierende auf a s_a = 25 cm. Berechne den Schenkel und die Fläche des Dreiecks.

Answer 1

Hallo Tobo,

Deine Frage ist zwar nun schon einen Tag her, aber auf der Suche nach ähnlichen Dreiecken bin ich fündig geworden. Und das wollte ich Dir zeigen:

Fällt man vom Mittelpunkt \(M_a\) der Seite \(a\) das Lot auf \(c\), so erhält man den Fußpunkt \(Q\). Nun sind die Dreiecke \(\triangle H_cBC\) und \(\triangle QBM_a\) ähnlich. Und da \(M_a\) die Seite \(a\) teilt, teilt auch \(Q\) die Strecke \(H_cB\). Weiter ist \(|QM_a|=h/2\). Im gleichschenkligen Dreieck (mit Spitze in \(C\)) fällt \(H_c\), der Höhenfußpunkt, mit \(M_c\), dem Mittelpunkt der Seite \(c\), zusammen. Daher ist $$|AQ| = \frac34 c$$ nach Pythagoras ist im Dreieck \(\triangle AQM_a\) $$s_a^2 = \left( \frac34 c\right)^2 + \left( \frac12 h\right)^2 \\ \Rightarrow \space h = \sqrt{4 s_a^2 - \frac94 c^2}$$

Also ist der Flächeninhalt \(F\) des Dreiecks $$F = \frac12 hc = \frac12 \sqrt{4 s_a^2 - \frac94 c^2} \cdot c = \frac12 \sqrt{196} \cdot 32 \text{cm}^2 = 224 \text{cm}^2$$ und die Länge eines Schenkels ist $$a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2} = \sqrt{4s_a^2 - 2 c^2} = 2\sqrt{113} \text{cm} \approx 21,3 \text{cm}$$ Gruß Werner

Comments

Sehr interessant, doch woher weiß man, dass |s_{a}| die Höhe genau in der Mitte schneidet?

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\(s_a\) schneidet die Höhe \(h\) nicht in der Mitte !?

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Wie kommt dann der Pythagoras mit \(\left( \frac12 h\right)^2\) zustande?

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Omg, jetzt hab ichs gerafft. Musste es nochmal richtig lesen.

Answer 2

Die Rechnung gilt unter der Prämisse, dass \(c=32cm\) die Grundlinie ist!

Suche dir die Formel für die Seitenhalbierende heraus:$$s_a=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}$$ Wir haben aber \(a=b\), also:$$s_a=\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-a^2}}{2}$$ Stelle nach \(a\) um, um die Lösung zu erhalten:$$25=\frac{\sqrt{2(a^2+32^2)-a^2}}{2}  \quad |\cdot 2$$$$50=\sqrt{2a^2+2\cdot 32^2-a^2} $$$$50=\sqrt{a^2+2048} \quad |(...)^2 $$$$2500=a^2+2048  \quad |-2048$$$$a^2=452  \quad |\sqrt{}$$$$a=2\sqrt{113} $$ Der Flächeninhalt berechnet sich aus:$$A=\frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}$$$$A=\frac{32}{2}\sqrt{(2\sqrt{113})^2-\frac{32^2}{4}}=224cm$$

Comments

wie heist die formel die sie angewendet haben ?

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Gefunden wurde sie hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende

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Habe die Antwort noch etwas ausgearbeitet. LG

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Es war ein Fehler drin - nun stimmt alles!

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Ok, ist \(c=32cm\) die Grundlinie? Nur dann stimmen die Rechnungen.

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Ja, die Grundlinie ist 32 cm.

Answer 3

Hallo Tobo,

wenn a = BC die Grundlinie ist (?)

Strecken in cm

Pythagoras  →

x²  =  16² + 25²  =  881  → x  =  √ 881  ≈  29,68 [cm]  

Fläche A  = 1/2 * 25 cm * 32 cm  = 400 cm²

Gruß Wolfgang

Comments

Es ist |s_a| gegeben und nicht |s_c|

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Ah, sorry! Das kann sein, aber ich denke, dass \(c\) die Grundlinie ist...

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@racine

Und wo steht in der Aufgabe , was die Grundlinie ist?

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Ja, habe es schon korrigiert.

"Never judge Wolfang before having properly read his entire answer"