Tangente an Kreis senkrecht zu g

Question

Ich habe den Kreis k(x-5)^2 + (y-5)^2 =25

An diesen soll ich 2 Tangenten gelegt werden die senkrecht zu g(2,-1) + t(4,3) stehen.

Komme nicht weiter wie ich das berechnen soll.

Answer 1

Hallo

Wie immer zeichnet man sich das erstmal!

 Tangente steht senkrecht auf dem Radius, also muss der Radius parallel zu g sein, also schneide die Gerade die durch den Mittelpunkt geht und denselben Richtungsvektor wie g hat mit dem Kreis, dann hast du die 2 Berührpunkte , da der Richtungsvektor genau die Länge des Radius als Betrag hat, bekommst du ganzzahlige Punkte.

Gruß lul

Comments

Ich habe den Mittelpunkt (5,5) in Normale von g eingesetzt:

n: (5,5) +t(3,-4)

x= 5+3t

y=5-4t

x und y dann in k eingesetzt:

(5+3t-5)^2+(5-4t-5)^2=25

t=±5

Muss ich jetzt t in g oder in Normale von g einsetzen?

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Du musst h:  (x,y) =  (5,5) +t(4,3) mit dem Kreis schneiden,

das gibt   (5+4t-5)^2 + (5+3t-5)^2 =25

also t= ± 1

Die Berührpunkte sind also (9;8) und ( 1;2) .

Oder du nimmst meine Alternative mit Analysis.

Answer 2

g hat die Steigung  m = 3/4 also müssen die Tangenten m = -4/3 haben.

Der obere Halbkreis hat die Funktionsgleichung   y = 5+√( 25 - (x-5)^2 )

also Ableitung  y ' = (-x+5) / √(10-x^2)  und das gleich -4/3 gesetzt gibt x=9.

Am Punkt mit dieser x-Koordinate ist die Tang. senkrechte zu g.

Entsprechend für den unteren Halbkreis.

Comments

Hallo mathef

 hier mit Funktionsgleichungen und Ableitungen zu rechnen ist wirklich nicht der Aufgabe angemessen, es ist ein einfaches geometrisches Problem!

Gruß lul