Wie kommt man auf die Lösung zum R Vektorraum?

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen keine R-Vektorräume sind:
a)R^2 mit gewöhnlicher Addition der skalaren Multiplikation  a * (x,y) = (ax,0), x,y,a∈R

b) Die injektiven Funktionen f : R → R,

Die Musterlösungen schauen so aus:

a) Verletzung der Def 8 (also 1*v=v): Es gilt 1*(0,1)=(0,0)≠(0,1)

Wie kommt man auf die Vektoren? hat man hier einfach zahlen für x und y eingesetzt und warum?

b)Die Addition ist auf den injektiven Funktion nicht abgeschlossen/definiert: Die Funktionen
x → x und x → −x sind injektiv, aber ihre Summe nicht.

Warum ist die Summe nicht injektiv = x→0 ist doch injektiv oder?

Bedanke mich im Voraus

Answer 1

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen keine R-Vektorräume sind:
a)R^{2} mit gewöhnlicher Addition der skalaren Multiplikation  a * (x,y) = (ax,0), x,y,a∈R

b) Die injektiven Funktionen f : R → R,



Die Musterlösungen schauen so aus:

a) Verletzung der Def 8 (also 1*v=v): Es gilt 1*(0,1)=(0,0)≠(0,1)

Wie kommt man auf die Vektoren?

hat man hier einfach zahlen für x und y eingesetzt und warum?

Ja. Ein einziges Gegenbeispiel genügt um zu zeigen, dass eine Eigenschaft nicht gilt. 

b)Die Addition ist auf den injektiven Funktion nicht abgeschlossen/definiert: Die Funktionen
x → x und x → −x sind injektiv, aber ihre Summe nicht. Warum ist die Summe nicht injektiv

= x→0 ist doch injektiv oder?

Nein, sobald zwei x-Werten der gleiche y-Wert zugeordnet wird, ist die Funktion nicht injektiv.

Bsp. 1 -> 0, 2 -> 0 schon ist "injektiv" widerlegt.