Tangenswert: Zeige mit Hilfe eines geeigneten Dreiecks, dass tan 60° = √3.

Question

Zeige mit Hilfe eines geeigneten Dreiecks, dass tan 60° = √3. Beschreibe den Beweis anschließen mit Worten.

Answer 1

Beweis gemäss Skizze:

1^2 + h^2 = 2^2

1 + h^2 = 4

h^2 = 3 

h=√3  = tan 60°         (Positiv, weil über der x-Achse)

Man kann die Grundfigur zu einem gleichseitigen Dreieck ergänzen und dann mit Hilfe des Pythaboras dessen Höhe, die dann tan 60° entspricht, berechnen.

Grundfigur von https://www.wolframalpha.com/input/?i=tan%2860°%29

Comments

Auch sehr schön :). Intuitiver als meins :P.

Answer 2

Hi Frank, 

ich würde es wohl so machen:

 

Mit cos(60°) = 1/c = 0,5 kann man c zu 2 bestimmen.

Wenn man nun den Satz des Pythagoras verwendet:

1^2+x^2 = 2^2

x^2 = 3

x = √3

 

Wenn man nun bedenkt, dass tan(60°) = x/1 ist, passt die Sache.

 

Grüße

Answer 3

Wahl: Gleichseitiges Dreieck mit den Seitenlängen a, hier sind alle Innenwinkel 60° (Summe der Innenwinkel im Dreieck ist stets 180 °),

Wir betrachten eine Höhe h darin (es liegen zwei rechtwinklige Dreiecke nun vor), so gilt

h2 + (a/2)2 = a2

h2 + a2/4 = a2

h2 = 3/4 *a2

h = ± (√3)*a/2     (1) Besinnen wir uns im Weiteren auf die positive Lösung.

Im rechtwinkligen Dreieck, was im Inneren des gleichseitiges Dreiecks vorliegt, gilt:

tanα = Gegenkathete/Ankathete = h/(a/2) = 2*h/a      (2)

Mit Gl. (1) folgt für Gl. (2) tanα = 2*√3*a/(a*2) = √3

Answer 4

Nun, da nimmt man ein gleichseitiges Dreieck (in einem solchen sind alle Innenwinkel gleich groß, nämlich 60 °) dessen Seiten alle die Länge s haben, und zeichnet die Höhe h  auf eine der Seiten ein. Die Höhe steht (wie jede Höhe) senkrecht auf dieser Seite und teilt diese in zwei gleiche Teile.

Somit ist das Dreieck, das aus der Höhe h, der halbierten Dreiecksseite und einer der Dreiecksseiten besteht, rechtwinklig. Seine Katheten sind die Höhe h und die durch die Höhe halbierte Seite.

Für den Winkel  zwischen der Dreiecksseite und der halbierten Dreiecksseite (dieser beträgt 60 °) gilt dann:

tan ( 60 ° ) = h / ( s / 2 ) ) = 2 h / s 

Außerdem gilt (Pythagoras):

s ² = h ² + ( s / 2 ) ²

<=> s ² - ( s / 2 ) ² = h ²

<=> h = √ ( ( 3 / 4 ) * s ² ) = ( 1 / 2 ) * s * √ ( 3 )  

Setzt man dies für h in die erste Gleichung ein, erhält man:

tan ( 60 ° ) = 2 h / s  = 2 * ( 1 / 2 ) * s * √ ( 3 )  / s = √ ( 3 )