\(6+\sqrt{x^2-9}=2x\Rightarrow \sqrt{x^2-9}=2x-6\Rightarrow x^2-9=4x^2-24x+36\Rightarrow 0=3x^2-24x+45\)
\(\Rightarrow 0=x^2-8x+15\)
Lösen mit pq-Formel: \(x_{1,2}=4\pm\sqrt{16-15}=4\pm 1.\) Also \(x_1=3, x_2=5.\)
Mit diesen Lösungen muss man jetzt noch eine Probe machen, da durch das Quadrieren "Scheinlösungen" entstehen können.
\(6+\sqrt{3^2-9}=6+0=2\cdot 3.\) Stimmt.
\(6+\sqrt{5^2-9}=6+4=2\cdot 5\) Stimmt.
Also sind beides Lösungen der Gleichung.
\(3^{2-x}=5^x\Rightarrow \frac{3^2}{3^x}=5^x\Rightarrow 9=5^x\cdot 3^x=15^x\Rightarrow x=\frac{\ln(9)}{\ln(15)}\approx 0,811.\)
