Uneigentliches Integral auf Konvergenz untersuchen \(\int_{0}^{1} \! \frac{e^x-1}{x\sqrt{x} } \, dx \)

Question

es geht um diese Aufgabe:

\(\int_{0}^{1} \! \frac{e^x-1}{x\sqrt{x} }  \, dx \)

habe erst eine Majorante gefunden:

\(|\frac{e^x-1}{x\sqrt{x} }|\geq \frac{e^x-1}{x}\)

dann x-> 0:

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}\)

und nun kommt 0/0 -> l'hopitale

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} \Rightarrow 1\)

also konvergiert das integral?

mfg

Comments

meine natürlich Minorante und nicht majorante :)

Answer 1

Hallo

 1. du hast nur gezeigt, dass ein kleinerer Integrand für x gegen 0 beschränkt ist, das hilft nix.

2. schätze e^x-1 durch den Anfang der Taylorreihe ab.

Gruß lul

Comments

ah genau warum ist das mir nicht eingefallen.. ich benutze ja schon die ganze zeit taylor reihen aber hier hab ichs einfach vergessen xD

zB hier:

ok ich probiers mal

mfg

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hi,

ich glaub das sollte so richtig sein

noch eine frage. wie kann ich hier zeigen, dass das integral existiert? partiel integrieren und die grenzen einsetzen? und z -> \(\infty\) z.B.

mfg

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Hallo

 dass das Integral existiert hast du doch gezeigt? Nach dem Wert war doch nicht gefragt?

was soll den z gegen ∞ bdeuten?

Gruß lul

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ah ok du meinst die stelle mit l'hopital...

aber die lösung um konvergenz nachzuweisen stimmt dann wohl...

mfg

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Hallo

 nein auf deinem Schmierzettel hat du doch die Existenz gezeigt, ohne L'Hopital?

nach " hi,
ich glaub das sollte so richtig sein"

Gruß lull

Answer 2

für x gegen 0 ist

(e^x-1)/(x√x)dx≈x/(x√x)dx=dx/√x∝√x

Das integral konvergiert also.