Homomorphismen als Verknüpfungen von nicht-Homomorphismen?

Question

Sei h(x)=f(g(x)) ein (Gruppen-)Homomorphismus, kann man daraus schließen, dass sowohl f als auch g Homomorphismen sind? Falls nicht kann man zumindest aus f ist ein Homomorphismus auf g ist einer oder umgekehrt schließen?

Wenn f und g Homomorphismen sind dann folgt ja auch dass h einer ist. Wenn h und g Homomorphismen sind und (1)=(dom(f)=im(g)) wahr ist dann kann man folgern, dass f auch einer ist. Und wenn h und f Homomorphismen sind und (2)=(f ist injektiv) wahr ist ebenfalls dass g einer ist.

Was passiert in diesen Fällen wenn die Aussagen (1) und (2) nicht wahr sind? Wenn die Folgerungen dadurch im Allgemeinen nicht mehr zutreffen, hätte jemand ein Gegenbeispiel? Also einen Homomorphismus als Verknüpfung von mindestens einem nicht-Homomorphismus mit einer anderen Abbildung?

Geht mir primär um Gruppenhomomorphismen aber ich nehme auch gerne andere Antworten vielleicht helfen sie mir trotzdem weiter.

Danke schonmal

Answer 1

Du brauchst doch nur einen umkehrbaren Nichthomomorphismus zwischen

zwei Gruppen,  etwa in  ( ℤ/5ℤ , + ) wären das z.B.

   f: ℤ/5ℤ  ----->  ℤ/5ℤ  mit f(x) = x+1

und   g: ℤ/5ℤ  ----->  ℤ/5ℤ  mit g(x) = x-1

sind beides keine Hom, weil z.B. f(1+1) = f(2) = 3 ≠ 2+2 = f(1)+f(1)

und g entsprechend.

Aber f(g(x)) = f(x-1)=(x-1)+1=x ist die Identität,

also ein Hom.

Comments

Danke dir, weißt du auch noch was über den Fall in dem h und g oder h und f Hom sind? Was kann man da für Aussagen treffen?