Grenzwert gegen unendlich berechnen

Question

ich soll folgenden Grenzwert berechnen:

Zum lösen verwende ich den Satz nach L‘Hospital!

Bin nur etwas ratlos, da mich das Ableiten von Nenner und Zähler nicht weiterbringt!

Würd mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

mfg

Answer 1

Nach folg.Grenzwertsatz gilt:

$$\lim\limits_{x\to\infty}(a*b)$$ = $$\lim\limits_{x\to\infty} a$$ *$$\lim\limits_{x\to\infty}b$$

= $$\lim\limits_{x\to\infty} (sin(x^4) +2)$$ *$$\lim\limits_{x\to\infty} (x/(x^3+1)$$

der 2.Ausdruck ist 0, also ist der Grenzwert =0

Answer 2

du kannst das auch mit dem sogenannten Sandwichtheorem machen, indem du eine Abschätzung nach oben und eine nach unten machst.

Man weiß, dass gilt:

$$-1\leq \sin(x^4) \leq 1$$.

Dann hat man also:

$$\frac{x}{x^3+1}=\frac{x\cdot (-1+2)}{x^3+1}\leq \frac{x\cdot (\sin(x^4)+2)}{x^3+1}\leq \frac{x\cdot (1+2)}{x^3+1}=\frac{3\cdot x}{x^3+1}$$

Offensichtlich ist:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^3+1}=0$$

und

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3\cdot x}{x^3+1}=0.$$

Also folgt auch:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x\cdot (\sin(x^4)+2)}{x^3+1}=0.$$

EDIT: Da man sich beim Limes immer für sehr große x interessiert, spielen die anfänglichen x-Werte keine Rolle.