es geht um den folgenden Satz.
$$ \text{Es sei }G\text{ eine Gruppe. Dann gilt:}\\(i)\text{ Gilt }(g\cdot h)\cdot 2=g^2\cdot h\cdot 2 \text{ für alle }g,h\in G\text{, so ist G abelsch.}\\(ii)\text{ Gilt }g\cdot 2=e \text{ für alle }g\in G\text{, so ist G abelsch.} $$
Beweis.
Zu (i) hätte ich:Definiere $$ g^2:=g\cdot g $$
$$ g\cdot h=(g\cdot e)\cdot h=g\cdot e\cdot h=g\cdot \Bigg(((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\Bigg)\cdot h\\=g\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=(g\cdot (g\cdot h))\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h\\=((g\cdot g)\cdot h)\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=(g^2\cdot h)\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h\\=(g^2\cdot h \cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=e\cdot h=h\\ \Rightarrow g=e $$
Per Definition einer Gruppe gilt:
$$ e\cdot h=h=h\cdot e \Rightarrow g\cdot h=h=h\cdot g $$
Für (ii) fällt mir kein Ansatz ein. Und wenn ich es versuche, wie oben, das neutrale Element e einzubringen, komme ich nicht wirklich weit damit.
