Gilt g*2=e_G für jedes g aus G, so ist G abelsch

Question

es geht um den folgenden Satz.

$$\text{Es sei }G\text{ eine Gruppe. Dann gilt:}\\(i)\text{ Gilt }(g\cdot h)\cdot 2=g^2\cdot h\cdot 2 \text{ für alle }g,h\in G\text{, so ist G abelsch.}\\(ii)\text{ Gilt }g\cdot 2=e \text{ für alle }g\in G\text{, so ist G abelsch.}$$

Beweis.

Zu (i) hätte ich:Definiere $$g^2:=g\cdot g$$

$$g\cdot h=(g\cdot e)\cdot h=g\cdot e\cdot h=g\cdot \Bigg(((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\Bigg)\cdot h\\=g\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=(g\cdot (g\cdot h))\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h\\=((g\cdot g)\cdot h)\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=(g^2\cdot h)\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h\\=(g^2\cdot h \cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=e\cdot h=h\\ \Rightarrow g=e$$

Per Definition einer Gruppe gilt:

$$e\cdot h=h=h\cdot e \Rightarrow g\cdot h=h=h\cdot g$$

Für (ii) fällt mir kein Ansatz ein. Und wenn ich es versuche, wie oben, das neutrale Element e einzubringen, komme ich nicht wirklich weit damit.

Comments

Was soll denn (g·h)·2 sein?

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Was soll denn (g·h)·2 sein?

Resultat einer schlechten Handschrift

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Resultat einer schlechten Handschrift

Nein, ein Element. Ich habs mir nicht so ausgedacht, es war so vorgegeben.

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Vielleicht sollte es (g·h)²=g²·h², bzw. g²=e heißen?

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Falls es so sein sollte: Für (ii) und g,h ∈ G gilt
g·h=g·e·h=g·(g·h)²·h=g·(g·h)·(g·h)·h=g²·(h·g)·h²=h·g.

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Nein, es heißt wirklich $$(g\cdot h) \cdot 2= g^2\cdot h \cdot 2$$

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Hat es sich inzwischen geklärt, was mit (g·h)·2 gemeint ist?

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Schon längst. Es ist einfach nur ein Element der Menge G.

Answer 1

Hallo

Bei der (ii) für das neutrale Element gilt dann ja e*2=e also 2=e. Für alle Elemente g aus G gilt dann e = g*2 = g*e = g. Also ist in der Gruppe nur das neutrale Element. Die triviale Gruppe ist offensichtlich abelsch.

Bei der (i) genauso. Kürzungsregel liefert für alle Elemente g aus G. g=e. Also auch nur die triviale Gruppe, diese ist abelsch.

Comments

e*2=e also 2=e

Nutzt du dann quasi aus (i) die Eigenschaft aus, dass g=e ist, um zum Schluss zu kommen?

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Nein,

Du weißt für alle g aus G gilt g*2=e

Das neutrale Element e ist in G, somit folgt e*2 = 2 = e, nach der Def. des neutralen Elements.

Jetzt gilt nach der Eigenschaft für alle g aus G: e = g*2 = g*e = g. Du hast in der Gruppe also nur ein Element, nämlich das neutrale.

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Ah stimmt. Hatte nicht auf dem Schirm, dass g auch das neutrale Element e sein kann.