Monotonieverhalten einer e-Funktion

Question

kann mir bitte jemand erklären, wie ich das Monotonieverhalten der Funktionen

1) x*e^x

2) (x+2)*e^x

3) x*e^3x+1 + e^3x+1

untersuche?

Ich weiß, dass man bei normalen Funktionen ohne e die erste Ableitung berechnet und deren Nullstellen, an den Punkten ist sie ja Null. Dann nimmt man einen größeren, in der Mitte liegenden und kleineren Wert, setzt sie ebenfalls in f‘(x) ein und sieht nun an den Vorzeichen wie die Funktion verläuft.

WIe ist das bei den Funktionen oben?

Answer 1

Ableitung 0 setzen. An diesen Stellen wechselt die Monotonie. z.B f(x)=x·e^x hat bei (-1|1/e) einen Tiefpunkt. Hier geht monotones Fallen in monotones Steigen über.

Answer 2

im Prinzip genauso, du musst nur die e-Funktionen ableiten.

2) mit Produktregel:

$$f(x)=(x+2)e^x\\ f'(x)=1*e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x$$

Eine Punktprobe brauchst du nicht zu machen, du kannst die Ungleichung

$$(x+3)e^x>0|:e^x> 0\\ x+3>0\\ x>-3$$

leicht lösen. Also ist die Funktion im Intervall [-3,∞) monoton steigend, umgekehrt im Intervall (-∞,-3] monoton fallend.