Wie zeige ich, dass die Menge X aller reellen Zahlenfolgen beschränkt ist ?

Question

1b) Wie zeige ich, dass X beschränkt ist ?

Zeigen, dass die Menge M aller reellen Zahlenfolgen mit der Metrik

d(a_{n}, b_{n}) = ∑ (1/2^{i+1})•(|a_{i}-b_{i}|/ (1+|a_{i}-b_{i}|)) (i von 1 bis unendlich) abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt ist.

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Vom Duplikat:

Titel: Menge M der reellen Folgen mit angegebener Metrik abgeschlossen und nicht kompakt?

Stichworte: kompakt,folge,metrik,abgeschlossen,analysis,metrischer,raum

ich soll zeigen dass die Menge M aller reellen Folgen mit der Metrik

d(a_n, b_n) = ∑ (1/2ⁱ⁺¹)•(|a_i-b_i|/ (1+|a_i-b_i|)) (i von 1 bis unendlich) abgeschlossen, aber nicht kompakt ist. Leider habe ich keine Idee wie ich das mit den Definitionen zeigen soll. Kann mir jemand helfen bitte?

Edit: Klammern im Nenner ergänzt.

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Hast du irgendwo Klammern vergessen oder steht da wirklich ein überflüssiges "/1" in der Aufgabenstellung?

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Ohja, Klammern im Nenner vergessen. Kannst du mir weiterhelfen?

Answer 1

Du sollst zeigen, dass die Menge X aller reellen Zahlenfolgen beschränkt ist.

In der angegebenen Norm heisst das wohl, dass der Abstand einer beliebigen Zahlenfolge von der Nullfolge eine obere Schranke hat.

1/2^{i+1} ist eine geometrische Folge. Die zugehörige Reihe hat einen Grenzwert, den du ausrechnen kannst.

Nun musst du noch untersuchen, ob

c/(1+c)  mit c ≥ 0 beschränkt ist.

Wenn ja, kannst du beides kombinieren, um den Abstand einer beliebigen Folge von der Nullfolge nach oben abzuschätzen. --> fertig.

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Richtig so ?

Und ist die Menge deswegen nicht kompakt?

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Beschränkt ist meines Erachtens in Ordnung.

Bei "nicht kompakt" bin ich weniger sicher. Könnte aber passen.

 1. Jede einzelne Folge konvergiert. (Die Zeilen, die du dort hast, enthalten nur konstante Teilfolgen).

2. Wie geht's jetzt weiter? Jetzt betrachtest du die Folge dieser Folgen und davon noch Teilfolgen-Folgen. Müsste diese denn alle konvergieren, damit M kompakt ist?

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Für Konvergenz muss nur eine Teilfolge der Folgen-Folge in X konvergieren, wie die Folgen (also Elemente der Folgenfolge) aussehen, ist dafür ja egal.

Ich sage, dass keine Teilfolge konvergiert, also die Menge nicht kompakt ist.

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Musst du da nicht noch zeigen, dass der Abstand von zwei Teilfolgen-Folgengliedern nicht gegen 0 geht?

Kann natürlich sein, dass das direkt dem Nachweis der Metrik folgt (?)

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Im Nachweis der Metrikeigenschaften, habe ich gezeigt, dass wenn der Abstand der beiden Folgen gleich Null ist, die Folgen auch gleich sind(pos.Definitheit).

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Im Nachweis der Metrik-Eigenschaften, habe ich gezeigt, dass wenn der Abstand der beiden Folgen gleich Null ist, die Folgen auch gleich sind (pos.Definitheit).

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Mit der ganzen Diskussion sollte das dann hoffentlich passen. Gut so :)