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Kann man eine folge auch so schreiben?

a_n = n^3 = (1^3, 2^3, 3^3, ...)

oder MUSS die Klammer um das (a_n) um es so schreiben zu können?

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Du musst dann die Klammer schreiben

(an) = (a1, a2, a3, ..., an)

an ohne Klammer ist einfach das n. Folgeglied.

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(an)n∈ℕ wäre noch etwas vollständiger.

Völlig richtig. Mehr dazu auch unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)

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