Hallo belaya,
Soweit ich Dich verstanden habe läuft das im Prinzip wie folgt ab: Es gibt zwei Koordinatensysteme, die ich mal mit 0-System (das 'alte' Koordinatensystem) und 1-System (das 'neue') bezeichne. Du gibst drei Punkte im 0-System vor $${^0p}_1, \space {^0p}_2, \space {^0p}_3$$ die vorgestellte 0 gibt an, auf welches System sich die Koordinaten in diesem Vektor beziehen - hier das 0-System (das 'alte' Koordinatensysten). Aus diesen drei Vektoren soll nun das 1-System bestimmt werden. Dazu wird zuerst das Lot von \({^0p}_3\) auf die Gerade durch \({^0p}_1\) und \({^0p}_2\) gefällt. Ich berechne den Einheitsvektor \(n\) parallel zu dieser Geraden: $$n = \frac{{^0p}_2 -{^0p}_1}{ |{^0p}_2 - {^0p}_1| }$$ Die Gerade würde dann lauten: $$g: \space x = {^0p}_1 + t \cdot n$$ Der Fußpunkt \({^0p}\) des Lotes von \({^0p}_3\) auf \(g\) ist dann
$${^0p} = {^0p}_1 + \left< {^0p}_3 - {^0p}_1,\, n \right> n$$ Der Ausdruck \(\left< {^0p}_3 - {^0p}_1,\, n \right>\) ist das Skalarprodukt. Siehe auch Wikipedia zum Thema Lot und bedenke, dass hier \(|n|=1\) ist.
Dieser Punkt \(^0p\) ist jetzt auch definitionsgemäß der Koordinatenursprung des 1-Systems. Und \(n\) ist die erste Koordinatenrichtung des 1-Systems in den Koordinaten des 0-Systems. Fehlen also noch die anderen beiden. Die zweite Koordinatenrichtung bzw. der zweite Einheitsvektor \(o\) ist $$o = \frac{{^0p}_3 - {^0p}} {|{^0p}_3 - {^0p}|}$$ und der dritte Vektor \(a\) ist dann einfach (Du hattest es oben schon gesagt!) $$ a = n \times o$$ Aus diesen vier Vektoren kann man nun die (homogene) Transformationsmatrix \({^0T}_1\) aufstellen: $${^0T}_1 = \begin{pmatrix} n & o & a & {^0p}\\ 0 & 0& 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x & o_x & a_x & {^0p}_x \\ n_y & o_y & a_y & {^0p}_y \\ n_z & o_z & a_z & {^0p}_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Eine 4x4-Matrix, deren letzte Zeile aus 0'en und einer 1 besteht. Liegt nun ein Punkt \({^1q}\) im 1-System vor, so kann man daraus dessen Pendant \({^0q}\) im 0-System berechnen $${^0q} = {^0T}_1 \cdot {^1q}$$ Bleibt noch zu erwähnen, dass \({^1q}\) für dieses Manöver mit einer 4.Koordinate (einer 1) ausgerüstet wurde! Diese Darstellung als homogene Transformation hat den Vorteil, dass man sie mit einer Matrix-Vektor-Multiplikation erschlagen kann. Ansonsten müsste man die Translation vom 0-System nach \({^0p}\) gesondert aufführen und nur die anschließende Rotation wäre eine Matrix-Vektor-Multiplikation - also eine lineare Abbildung.
Vom 1- zum 0-System wollten wir aber gar nicht, sondern so wie Du es beschrieben hast, gibst Du eine Koordinate im 'alten' - dem 0-System - vor und erhältst eine im neuen - dem 1-System. Dazu wird \({^0T}_1\) invertiert $${^1T}_0 = \left( {^0T}_1 \right)^{-1}$$ Und nun kann aus einem Punkt \({^0q}\) im alten System sein Pendant \({^1q}\) im neuen berechnet werden: $${^1q} = {^1T}_0\cdot {^0q}$$
Wenn ich also den Ursprung wieder anfahre (Punkt 1) befinde ich mich bei ( 0 | 0 | 0).
Genau - es ist zum Beispiel $$ {^1T}_0\cdot {^0p} = \vec{0}$$ Konkrete Beispiele mit Zahlen kannst Du sehr schön mit Excel oder einem anderen Tabellenkalkulationsprogramm durchrechnen. Es gibt da die komfortablen Befehle MMULT, MINV und MTRANS.
Falls Du noch Fragen hast, so musst Du leider auf die Antwort länger warten. Ich bin ab jetzt 8 Tage offline.
Gruß Werner
