Kern und Bild bestimmen und ihre Dimensionen angeben.

Question

a) ∅(A+B) = (A+B)^T - (A+B) =(A^T-A) + (B^T -B) = ∅(A) + ∅(B)

∅(λA) = λ*A^T -  λ*A = λ(A^T-A) =  λ*∅(A)

b) Zum Kern: A^T-A  = 0  wird nur null bei einer Diagonalmatrix

$$ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 \\ 0& 0 & f \end{pmatrix} $$  -$$ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 \\ 0& 0 & f \end{pmatrix} $$ = $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 &0\end{pmatrix} $$ also (a_ik) = 0

Nun weiß ich leider nicht wie ich bei Bild vorgehen soll und wie hier Dimensionen bestimmt werden.

Comments

Ist das Bild nicht die Menge aller schiefsymmetrischen n×n-Matrizen? Dimension wäre dann n·(n-1)/2, die des Kerns ist n.

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Ja stimmt, danke! Aber wie kommt man bei der Dimension auf n(n-1)/2. Also welche Schritte muss ich machen ?

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Etwa für n=3 wäre z.B. \(\begin{pmatrix}0&1&0\\-1& 0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}\) eine Basis fürs Bild, also dim=3=3·2/2.

Answer 1

Hallo

Diese Antwort ist falsch! danke an Spacko!

 ich sehe nicht, dass A^T-A schiefsymmetrisch sein muss.  allerdings werden schiefsymmetrisch auf schiefsymmetrisch abgebilde. Da die Dimension des Kerns n ist ist die Dim des Bildes n^2-n

und das Bild enthält alle Matrices mit Nullen in der Diagonalen.also a_ii =0

Gruß lul

Comments

Welche obere Dreiecksmatrix wird denn vermöge Φ auf \(\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) abgebildet?

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Hallo Spacko

Du hast recht, ich hatte übersehen, dass der Kern ja nicht nur die n Diagonalmatrizes enthält, sondern alle symmetrischen Matrizen. Danke für deine Korrektur. Ich sehe jetzt auch die schiefsymmetrischen Matrices als Bilder.

Danke und Gruß lul

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Also kommt man auf die Dimension indem man:

1. Für n einfache Zahlen nimmt und diese als Basen darstellt

2. Dann bestimmt man die Dimensionen für diese verschieden großen Matrizen

3 Zuletzt die Dimensionen vergleichen und eine Formel bestimmen, bei der es für alle n gilt ?

Oder gibt es eine einfachere Methode ?