Zeigen, dass folgendes gilt (tan)

Question

Ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen aber finde keinen richtigen Ansatz. Ich würde den Mittelwertsatz anwenden, aber weiß nicht was ich wo einsetzen soll. Wenn ich mir jetzt Werte aus dem Intervall rausnehme, die passen, beweise ich es ja nicht für !alle! a,b sondern nur für diese Werte.

LG

Answer 1

Tipp: mit f(x) = tan(x) liefert der Mittelwertsatz

(tan(b) - tan(a) ) / (  b-a)    =   f ' (c) mit c zwischen a und b.

also

(tan(b) - tan(a) ) / (  b-a)    =   1 / cos^2(c)

und weil cos nicht größer als 1 ist, ist die rechte Seite

immer größer  oder gleich 1, also

(tan(b) - tan(a) ) / (  b-a)    ≥  1

<=>   (tan(b) - tan(a) )  ≥  (  b-a)

Answer 2

tan(b) - tan(a) >= b - a

(tan(b) - tan(a)) / (b - a) >= 1

Auf der linken Seite steht jetzt die Sekantensteigung durch die Punkte an den Stellen a und b.

Weist du das die kleinste Steigung der Tangensfunktion 1 ist und zwar an der Stelle 0. Ansonsten hat die Funktion immer eine größere Steigung. D.h. die Mittlere Steigung zwischen zwei Stellen muss zwangsweise immer >= 1 sein, weil die Mittlere Steigung immer Zwischen der kleinsten und der größten Steigung liegt.