Ich habe versucht, die im Titel genannte Äquivalenz zu zeigen, bin mir aber nicht 100%-ig sicher, ob das so durchgeht.
$$ \text{Es seien }\mathbb{K}\text{ ein Körper, }V\neq\{0_V\}\text{ ein }\mathbb{K}-\text{Vektorraum und }u,v\in V.\\\text{Dann sind folgende Aussagen äquivalent:}\\(i)\quad\text{Die Familie } (u,v) \text{ ist linear abhängig.}\\(ii)\quad \text{Die Vektoren }u,v \text{ liegen auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden.} $$
Beweis
$$ \text{Zu ''(i)=>(ii)''. Sei }\mathcal{F}:=(u,v)\text{ eine linear abhängige Familie. Dann kann man den Nullvektor }0_V\in V\\\text{über }\mathcal{F}\text{ gewinnen, in der Form }0_V=a\cdot u+b\cdot v,\quad a,b\in\mathbb{K}\setminus\{0_\mathbb{K}\}.\text{Es muss gezeigt werden, dass }\\u,v \text{ Vielfache voneinader sind.}\text{ Definiere eine Familie }\mathcal{\tilde{F}}:=(v).\text{ Dann ist} \text{ Lin}(v)=\{a\cdot v:a\in\mathbb{K}\}\\\text{ die durch }v\text{ aufgespannte Ursprungsgerade. Dann ist }0_V=a\cdot u+b\cdot v\Leftrightarrow a\cdot v=a\cdot \frac{-a}{b}\cdot u.\\\text{Damit lässt sich die Gerade durch ein Vielfaches des Vektors } u \text{ umschreiben, womit beide auf einer}\\ \text{gemeinsamen Ursprungsgeraden liegen.}\\[15pt]\text{Zu ''(ii)=>(i)''. Es sei bekannt, dass }u,v\in V\text{ auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden liegen.}\\ \text{Dann sind die beiden Vektoren }u,v\text{ Vielfache voneinander, sodass ein }a\in\mathbb{K}\text{ existiert, sodass }\\a\cdot v=u\text{ erfüllt ist. Dann ist auch mit }b:=-1_\mathbb{K}\qquad a\cdot v=u\Leftrightarrow 0_V=a\cdot v+b\cdot u, \text{ womit beide Vekoren }\\u,v\text{ linear abhängig sind.} $$
