Du hast gegeben
f ( z ) := ( 1 - 2 i ) z + 1 + 3 i ( 1a )
Wir suchen das Bild der rteellen Achse; setze schlicht und ergreifend z = x
f ( x ) = x + 1 + ( 3 - 2 x ) i ( 1b )
Verschaffen wir uns mal einen Überblick; wann ist die Funktion rein reell? Der Imagteil verschwindet in ( 1b ) für x_r = 3/2 ===> f ( x_r ) = 5/2 ( Schnittpunkt mit der reellen Achse. )
Und wann ist sie rein imaginär? Jetzt müssen wir den Realteil Null setzen ; x_i = ( - 1 ) ===> f ( x_i ) = 5 i
Aus diesen beiden Achsenschnittpunkten der Geraden folgt das Steigungsmaß m = ( - 2 )
Und jetzt kommt der Teil der Aufgabe mit dem Punkt
W := 4 i - 2 ( 2a )
( Kleinbuchstaben für Punkte zu vergeben, ist auch nicht gerade Norm gerecht ... )
Dann ergibt sich der Abstand aus ( 1b ) zu
D ( x ) := | d ( x ) | ² = | f ( x ) - W | ² = ( 2b )
= ( x + 3 ) ² + ( 2 x + 1 ) ² ( 2c )
1/2 D ' = x + 3 + 2 ( 2 x + 1 ) = 0 ===> x_min = ( - 1 ) ( 3 )
Rein teoretisch über den Daumen gepeilt würde ich mal schätzen: Die richtige Lösung ergibt sich, wenn du das Lot fällst von W auf g ; diese Probe sollten wir uns nicht entgehen lassen. ( 3 ) kommt uns irgendwie bekannt vor; oben im Anschluss an ( 1b ) hatten wir schon gesehen, dass genau x_min = x_i und somit f_min = 5 i . Dann ergibt sich aber das Lot zu L := f_min - W = 2 + i Das Steigungsmaß m ( Lot ) = 1/2 ; vergleiche oben mit der Geradensteigung m = ( - 2 ) Naa stimmt's ?
