e := e ( x ) ( 1 )
x + e ( x ) + x ² e = x ( 2a )
Da wir uns hier im Reich der reellen Zahlen befinden, ist der Einsatz der Differenzialrechnung zulässig; ableiten nach x
1 + ( de/dx ) + 2 x e + x ² ( de/dx ) = 1 ( 2b )
( x ² + 1 ) ( de/dx ) + 2 x e = 0 ( 2c )
Wenn e neutral ist, ist es quasi ein Fixpunkt; notwendige Bedingung für Fixpunkt:
( de/dx ) = 0 ===> e = 0 ( 3 )
In ( 2a ) müssen wir nur noch die hinreichende Bedingung überprüfen.
Und wie sieht es mit linksneutralen aus?
e ( y ) + y + e ² y = y ( 4a )
( 4a ) wieder ableiten nach y
1 + e ² = 1 ===> e = 0 ( 4b )
Auch hier verläuft die Probe auf ( 4a ) positiv.
Jetzt rechtsinverse
( x ² + 1 ) y + x = 0 ===> y = - x / ( ² + 1 ) ( 5 )
ein element, das im Reellen immer existiert.
Linksinverse sind schon bedeutend tückischer. Zunächst mal ist das Linksinverse von Null wieder die Null ( claro; als Neutrales ) Ansonsten hast du die quadratische Gleichung zu lösen
x ² - p x + q = 0 ( 6a )
p = - 1 / y ; q = 1 ( 6b )
Ich denke immer von komplexen Lösungen her; mit q = 1 liegen die beiden ( konjugiert ) komplexen Wurzeln auf dem Einheitskreis. Dann folgt aber mit Vieta
p = - 1 / y = 2 Re ( z0 ) ===> | y | > 1/2 ( 6c )
D.h. Im Grenzfall y = ( +/- 1/2 ) hast du ein eindeutiges Linksinverses, ansonsten zwei.
( Ach übrigens; bissele Psychologie. Daran, dass die Frage nach den Linksinversen nicht gestellt wurde, erkennst du auch hier wieder, wie bedeutungslos dass die Mitternachtsformel im akademischen Betrieb ist. )
