Nullstellen in Intervall bestimmen

Question

Wir sollen nur mit Hilfe eines normalen Taschenrechners bestimmen ob es Nullstellen im Intervall [-0.5,0.5] der Funktion f(x) = – x³ + 3x² - x gibt. Mein Ansatz wäre es einfach - 0.5, 0.5 und 0 einzusetzen, aber dann übersehe ich eine Nullstelle, gibt es da was besseres?

Comments

Regel von Descartes anwenden, bzw. hier Sturmsche Kette.

Answer 1

Du kannst das Intervall immer weiter verkleinern und findest so GARANTIERT eine Nullstelle :)

Dazu solltest du dann prüfen, welche Vorzeichen deine Funktion hat. Ist das Vorzeichen für einen Wert im Intervall [a,b] positiv und für den anderen negativ dann liegt dazwischen eine Nullstelle (andersrum genauso :))

Nehmen wir mal folgendes an:

Du hast das Intervall [-0.5 , 0.5]

Setze f(x) mit x=-0,5 , 0.5 und 0 (0 da Mitte von -0.5 und 0.5) ein.

Überprüfe die Vorzeichen sagen wir die Ergebnisse sind:

x =     -0.5   0   0.5
Vorz =  +     +     -

Dann grenzt du das Intervall mit dem Neuen Intervall

[0 , 0.5] ein und machst so weiter, so halbierst du das Intervall immer weiter :)

Comments

Ja gut aber das kann bei einem großen intervall ewig dauern ..

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Nein nicht notwendigerweise, es gibt einige Verfahren die sehr schnell Lösungen finden (Newton). Das von mir vorgeschlagene Verfahren konvergiert sicher und es wird eine Lösung gefunden, zugegeben bei einem Sehr sehr großen Intervall kann das dauern, aber dazu kann man eine Funktion ja zuvor prüfen auf Vorzeichen Wechsel.

Dein Intervall ist ja schon recht eingegrenzt :)

Answer 2

du kannst ja mal deine Schrittweite verfeinern. Sagen wir mal mit 0,1. Dann tippst du also -0,5; -0,4;...;0,5 ein. Interessant sind dann die Stellen, wo ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte stattfindet. Mal ein Beispiel. Du tippst eine Zahl a ein und dann eine Zahl b und stellst fest, dass f(a)≤0 und f(b)>0 ist. Was kann man daraus schließen? Ganz einfach: Es muss zwischen a und b also im Intervall [a;b] mindestens eine Stelle x∈[a;b] geben, sodass f(x)=0 gilt. Das kannst du genauso auf deine Aufgabe anwenden.

Answer 3

Es ist f(0) = 0,
f(1/3) = -1/27 < 0 und f(1/2) = 1/8 > 0,
f(2)= 2 > 0 und f(3) = -3 < 0.
Es liegen also genau zwei Nullstellen im fraglichen Intervall, denn mehr als insgesamt drei kann es nicht geben.

Answer 4

Verwende die Sturmsche Kette, um die Nullstellen des Intervalls zu bestimmen.$$P_0=-x^3+3x^2-x \longrightarrow \frac{1}{8} \wedge \frac{11}{8}  $$$$P_1=-3x^2+6x-1 \longrightarrow \frac{5}{4} \wedge -\frac{13}{4} $$$$P_2=-4x+1\longrightarrow -1 \wedge 3$$$$P_3=-1\longrightarrow \quad -1 \wedge -1$$ Nun setzt du die Grenzen deines Intervalls ein und untersuchst die Vorzeichenwechsel. Die rechte Seite des logischen Λ ist der Wert für \(0.5\), der andere für \(-0.5\).

Auf der rehcten Seite gibt es einen Vorzeichenwechsel, auf der anderen Seite gibt es 3. Die Differenz daraus gibt die Nullstellen an, hier sind es also 2 Nullstellen im Intervall.