Permutation einer Maschine - Reihenfolge der Abläufe

Question

Im Bild ist eine Maschine dargestellt. An den mit 1 bis 4 bezeichneten Positionen liegen Kugeln. Diese können auf den Kreisbahnen bewegt werden. Die Bewegung wird durch Drehen der dick gezeichneten Gestänge verursacht. Bei π₁ kann um 120° in Pfeilrichtung gedreht werden, bei π₂ um 180°. Über die Postion 3 können Kugeln von einer Kreisbahn auf die andere wechseln.

a) Modellieren Sie die Maschine durch Permutationen.

b) Wie (in welcher Reihenfolge) müssen die Gestänge gedreht werden, um eine Kugel von der Position 4 an dic Position 1 zu bringen.

c) Zeigen Sie, das durch Drehen an den Gestängen jede beliebige Positionierung der Kugeln in jede beliebige andere Positionierung überführt werden kann.

Meine Lösungsansätze:

a) P=4!

b) π2 anschließend π1

c) ...

So wirklich mathematisch sehen meine Lösungsansätze für mich nicht aus. Kann mir hier jemand Hilfestellung geben?

Answer 1

Modellieren heißt wohl, dass Du die beiden Permutationen $\pi_1$ und $\pi_2$ darstellen sollst (z.B. in der Tupel-Schreibweise):

$$\pi_1 = (2, 3, 1, 4) \\ \pi_2 = (1,2,4,3)$$

D.h. z.B. für $\pi_1$, dass die Kugel aus der Position 1 durch $\pi_1$ in die Position 2 wandert usw.

Führt man zuerst $\pi_2$ und dann $\pi_1$ aus, so wandert die Kugel aus Position 4 nach 1:

$$\cancel{ \pi_2 \circ \pi_1 = (1,2,4,3) \circ (2, 3, 1, 4)} \\ \pi_1(\pi_2) = \pi_1 \circ \pi_2 = (2, 3, 1, 4) \circ (1,2,4,3) = (2, 3, 4, \colorbox{#ffff00}{1})$$

Bem: mit der Schreibweise $\pi_1 \circ \pi_2$ wird zuerst $\pi_2$ und danach erst $\pi_1$ ausgeführt; also von rechts nach links!

Du kannst alle beliebiegen Positionierungen erreichen, wenn alle möglichen Transpositionen (zwei Objekte vertauschen) durch $\pi_1$ und $\pi_2$ dargestellt werden können. $\pi_2$ allein vertauscht bereits 3 und 4. Und mit den Folgen

$$\cancel{\pi_1 \circ \pi_2 \circ \pi_1 \circ \pi_1\circ \pi_2 \circ \pi_1 \circ \pi_2} \\ \pi_2 \circ \pi_1 \circ \pi_2 \circ \pi_1\circ \pi_1 \circ \pi_2 \circ \pi_1= (2,1,3,4)$$

$$\cancel{\pi_2 \circ \pi_1 \circ \pi_1 \circ \pi_2 \circ \pi_1 \circ \pi_2} \\ \pi_2 \circ \pi_1 \circ \pi_2 \circ \pi_1 \circ \pi_1 \circ \pi_2 = (3,2,1,4)$$

vertaucht man die Kugeln alleine auf 1 und 2 bzw. 1 und 3.

Comments

... für den Aufgabenteil c) reicht es aus, die Transpositionen aller benachbarter Positionen nachzuweisen. Die Transposition $(1,2)$ habe ich oben schon gezeigt. Und $(2,3)$ ist: $$\cancel{\pi_2\circ\pi_1\circ\pi_2\circ\pi_1\circ\pi_1\circ\pi_2} \\ \pi_2\circ\pi_1\circ\pi_1\circ\pi_2\circ\pi_1\circ\pi_2 = (1,3,2,4)$$ und die Transposition $(3,4)$ ist $\pi_2$ wie schon erwähnt.

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ich habe meine Antwort und den Kommentar korrigiert. Die Reihenfolge der Verknüpfungen war genau invers.