Umgekehrte Betragsgleichung - Wie bekomme ich die Betragsstriche hinzu?

Question

Aufgabe

Sei ( K , ≤ ) ein angeordneter Körper-

Zeigen Sie dass für alle x,y ∈ K die Ungleichung 

| |x| - |y| | ≤ |x-y|

gilt. 
In welchen Fällen gilt Gleichheit?


Mein Vorghen

( Mein Hilfsmittel : Dreiecksungleichung |x+y| ≤ |x| + |y| )

Ich will also von der Dreiecksungleichung auf die obige Gleichung kommen. 


Beweisversuch

|x| = |x - y + y| ≤ | x-y | + | y |                | Auf beide Seiten -|y|

|x|-|y| ≤ |x-y|


Problem
Jetzt fehlen aber links die Betragsstriche noch. 


Frage
Wie bekomme ich die dort hin?


Nachbemerkung:

Ich habe das selbe mit der variable y gemacht
und versucht dann 

| y | = |y -x +x | = |y-x|+|x|

|x| - |y| ≤  | x-y | + | y |  - | y-x | + | x |
           ≤   |x| + |y|

Aber komme nicht weiter so... 

Answer 1

|x|-|y| ≤ |x-y|

Diskutiere: Was passiert, wenn man x und y vertauscht?

Comments

nichts. Es ist dort kommutativ und man nimmt dann den Betrag vom Ergebnis, sowieso oder?

---

Passiert links auch nichts???

---

ich glaube so passiert wieklich nichts:

|x|-|y| = -|y|+|x| .

Oder meinst du so vertauschen:

|x|-|y| = -|x|+|y| ?

---

Die Buchstaben x und y sollst Du vertauschen. Der Rest bleibt stehen.