Ich habe die Menge $$ C_3:=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\} $$ gegeben und will nun alle Basen für $$ C_3^3 $$ bestimmen. Mein Ansatz war nun drei folgende Vektoren zu betrachten: $$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{b} \\ \overline{c}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right),\quad \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in C_3, $$
denn so wäre eine Familie dieser Form linear unabhängig. Nun habe ich die drei Parameter a,b und c betrachtet, indem ich geschaut habe, wie viele Möglichkeiten es bereits gibt, wenn diese Parameter =0 ,bzw. ≠0 sind. Es sind 7.
$$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right) $$
$$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{c}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right) $$
$$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{0}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right) $$
$$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{b} \\ \overline{0}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right) $$
$$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{c}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right) $$
$$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{b} \\ \overline{0}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right) $$
$$ \mathcal{B}=\left(\begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{0} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \overline{b} \\ \overline{c}\\\overline{1} \end{pmatrix}\right) $$
Allerdings finde ich keine gute Systematik, jetzt somit alle möglichen Kombinationen zu bekommen. Ja, ich kann die Vektoren vertauschen, alle Einträge an der Waagerechten ,,spiegeln'', die Anzahl der Möglichkeiten, die a,b,c ≠ 0 annehmen können in Betracht ziehen. Das scheint hier aber bei jedem so individuell zu sein, dass ich mich in diesem Wust von Möglichkeiten verliere und auch keine Ahnung habe, wie man es vielleicht sogar einfacher und übersichtlicher finden könnte.
Als ich zum Anfang $$ C_3^1, \quad C_3^2 $$ betrachtet habe, ging das wie oben recht einfach und schnell. Für C_3^1 hatte ich nur eine und für C_3^2 10 Basen.
