Rechengesetze für Matrizen, die nicht allgemeingültig sind. Bsp. (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}

Question

Beweisen Sie, dass die folgenden Beziehungen für Matrizen am allgemeinen nicht gelten

a) (A+B)(A-B)=A^2-B^2

b) (A-B)^2=A^2-2AB+B^2

Kann mir jemand weiterhelfen

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Binomische Formeln bei Matrizen

Stichworte: binomische-formeln,matrix

a= $$ \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} $$

b= $$ \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 22 & 78 \end{pmatrix} $$

Beweisen sie, dass die folgende beziehungen nicht gelten

a) (A+B)(A+B)=A^2-B^2

b) (A-B)^2= A^2-2AB+B^2

kann mir jemand weiterhelfen ich weiss dass das nicht kommutativ ist.

aber wie rechne ich a) b)

Answer 1

"Herleitung der binomischen Formeln" waere das Thema, das Du Dir noch mal anschauen solltest. Da wird was benutzt, das für Matrizen im Allgemeinen nicht gilt. Wenn Du herausgefunden hast, was das ist, gibst Du ein Gegenbeispiel an.

Comments

ich weiss was die binomische formel ist aber warum kann man das nicht anwenden?

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Du sollst nicht "wissen", was eine binomische Formel ist, sondern die Herleitungen reproduzieren (am besten hier im Forum, wenn Du drueber diskutieren willst) und dann schauen, an welcher Stelle es bei Matrizen hakt.

Answer 2

Ich denke Du solltest Dir klar machen dass für Matrizenprodukte im allgemeinen A B ≠ B A gilt...

Answer 3

Du sollst wohl einfach die gegebenen Zahlen in die Formel

einsetzen

A+B = 14    13
           28     85

(A+B)(A+B) =  560    1287
                        2772    7589

(Vermutlich sollte das aber wohl (A+B)(A-B) heißen ???

und das vergleichen mit der rechten Seite .

Comments

ja genau (A-B)(A+B)

Answer 4

zu b) Nach dem Distributivgesetz gilt:

b) (A-B)^2 = A*(A-B) - B*(A-B) = A^2 - A*B - B*A + B^2

Um das weiter zusammenfassen zu können, muss A*B=B*A gelten. Um die Aussage b) zu widerlegen, genügt es also, etwa anhand des angegebenen Beispiels, nachzurechnen, dass dies im allgemeinen nicht so ist.