die beiden Personen werfen beide jeweils \(n\) mal eine unverfälschte Münze. Sei \(A\) die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleich oft Kopf werfen. Bezeichne weiterhin \(0\) das Ereignis "Kopf" und \(1\) "Zahl". Es ist: $$\Omega := \{(\omega_1, \omega_2, ...,\omega_{n},\omega_{n+1},...,\omega_{2n})\mid \omega_i\in\{0,1\}\}$$ $$A:=\{(\omega_1, \omega_2, ...,\omega_{n},\omega_{n+1},...,\omega_{2n})\mid |\{i\in\{1,2,...,n\}\mid w_i=0\}|=|\{i\in\{n+1,n+2,...,2n\}\mid w_i=0\}|\}$$ $$A_k:=\{(\omega_1, \omega_2, ...,\omega_{n},\omega_{n+1},...,\omega_{2n})\mid k=|\{i\in\{1,2,...,n\}\mid w_i=0\}|=|i\in\{n+1,n+2,...,2n\}\mid w_i=0\}|\}$$ $$|\Omega|=2^{2n}$$ $$|A_k|=\binom{n}{k}^2$$ Die Ereignisse \(A_k\) sind paarweise disjunkt und ergeben vereinigt \(A\). Daraus folgt $$\sum_{k=0}^{n}{|A_k|}=|A|\Longrightarrow P(A)=2^{-2n}\cdot \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}^2}$$ Das kommt schon dem nahe, was gezeigt werden soll. Wir müssen nun noch zeigen, dass $$\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}^2}=\binom{2n}{n}$$ Wir sparen uns an dieser Stelle die vollständige Induktion und argumentieren über die Vandermondesche Identität $$\sum_{j=0}^{k}{\binom{n}{j}\cdot \binom{m}{k-j}}=\binom{n+m}{k}$$ Aufgrund der Symmetrie des Binomialkoeffizenten, also \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\), können wir folgende Umformungen mit der Vandermondeschen Identität vornehmen: $$\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}^2}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\cdot \binom{n}{n-k}}=\binom{2n}{n}$$ Damit erhalten wir auch schon $$P(A)=2^{-2n}\cdot \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}^2}=2^{-2n}\cdot \binom{2n}{n}$$
André
